[ 二分图匹配 ] 匈牙利算法 和 KM算法 总结

前言：

高中时候老师讲这个就听得迷迷糊糊，有一晚花了通宵看KM的Pascal代码，大概知道过程了，后来老师说不是重点，所以忘的差不多了。都知道二分图匹配是个难点，我这周花了些时间研究了一下这两个算法，总结一下

1. 基本概念

 

M代表匹配集合

 

未盖点：不与任何一条属于M的边相连的点

交错轨：属于M的边与不属于M的边交替出现的轨（链）

可增广轨：两端点是未盖点的交错轨

 

判断M是最大匹配的标准： M中不存在可增广轨

 

 

2. 最大匹配，匈牙利算法

 

时间复杂度：O(|V||E|)

原理：

寻找M的可增广轨P，P包含2k+1条边，其中k条属于M，k+1条不属于M。修改M为M&P。即 这条轨进行与M进行对称差分运算。

所谓对称差分运算，就是比如X和Y都是集合，X & Y=( X 并 Y ) - ( x 交 Y )

有一个定理是：M & P的边数是 |M|+1，因此对称差分运算扩大了M

 

实现：

关于这个实现，有DFS和BFS两种方法。先列出DFS的代码，带注释。这段代码来自中山大学的教材

核心部分在dfs(x)，来寻找可增广轨。如果找到的话，在Hungarian()中，最大匹配数加一。这是用了刚才提到的定理。大家可以想想初始状态是什么，又是如何变化的

#include <iostream> #define F(i,a,b) for (int i=a;i<=b;i++) #define maxn 1002 using namespace std; bool mk[maxn], map[maxn][maxn]; int match[maxn], n, m; bool dfs(int x) //寻找增广链,true表示找到 { for (int i=1;i<=m;i++) { if ( map[x][i] &