线性系统下MPC的迭代可行性与稳定性证明

线性系统下MPC的迭代可行性与稳定性证明

以下以一个离散时间线性系统为例，详细证明模型预测控制（MPC）的迭代可行性和稳定性。假设系统模型为：

$$x(k+1)=Ax(k)+Bu(k),$$
其中$x\in {\mathbb{R}}^n$，$u\in {\mathbb{R}}^m$，且系统$(A,B)$可控。

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步骤1：定义MPC优化问题

设计一个有限时域$N$的MPC优化问题，目标函数为：
$$J(k)=\sum _{i=0}^{N-1}\left(x(k+i|k{)}^{T}Qx(k+i|k)+u(k+i|k{)}^{T}Ru(k+i|k)\right)+x(k+N|k{)}^{T}Px(k+N|k),$$
约束条件：

1. 状态约束：$x(k+i|k)\in \mathcal{X}$（凸集，通常包含原点）。
2. 输入约束：$u(k+i|k)\in \mathcal{U}$（凸集，通常包含原点）。
3. 终端约束：$x(k+N|k)\in {\mathcal{X}}_f\subseteq \mathcal{X}$。

设计要求：

• $Q\succ 0$,$R\succ 0$,$P\succ 0$为权重矩阵。
• 终端集${\mathcal{X}}_f$是控制不变集，即存在局部控制器$u=Kx$使得：
  $$(A+BK)x\in {\mathcal{X}}_f,\forall x\in {\mathcal{X}}_f.$$
• 终端代价$P$是无限时域LQR问题的解，满足代数Riccati方程：
  $$P=A^{T}PA-A^{T}PB(R+B^{T}PB{)}^{-1}{B}^{T}PA+Q.$$
  或者
  $$\begin{gathered} A_K^{T}P{A}_K-P=-Q^{\ast } \\ {A}_K=A+BK \\ {Q}^{\ast }=Q+K^{T}RK \\ K=-(R+B^{T}PB{)}^{-1}{B}^{T}PA \end{gathered}$$

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步骤2：证明迭代可行性（Recursive Feasibility）

目标：若初始时刻$k=0$的优化问题可行，则后续所有时刻$k\ge 1$的优化问题仍可行。

证明过程：

1. 假设当前时刻$k$的优化问题可行，得到最优控制序列：
   {u∗(k∣k),u∗(k+1∣k),…,u∗(k+N−1∣k)}, \{u^*(k|k), u^*(k+1|k), \dots, u^*(k+N-1|k)\}, {u∗(k∣k),u∗(k+1∣k),…,u∗(k+N−1∣k)},
   对应的状态轨迹为：
   {x∗(k∣k),x∗(k+1∣k),…,x∗(k+N∣k)}, \{x^*(k|k), x^*(k+1|k), \dots, x^*(k+N|k)\}, {x∗(k∣k),x∗(k+1∣k),…,x∗(k+N∣k)},
   其中$x^{\ast }(k+N|k)\in {\mathcal{X}}_f$。

2. 构造下一时刻$k+1$的候选控制序列：
   $$\tilde{u}(k+1+i|k+1)=\{\begin{array}{ll}{u}^{\ast }(k+1+i|k),& i=0,1,\dots ,N-2,\\ K{x}^{\ast }(k+N|k),& i=N-1.\end{array}$$
   对应状态轨迹：
   $$\tilde{x}(k+1+i|k+1)=\{\begin{array}{ll}{x}^{\ast }(k+1+i|k),& i=0,1,\dots ,N-1,\\ (A+BK)x^{\ast }(k+N|k),& i=N.\end{array}$$

3. 验证候选序列的可行性：

   • 输入约束：前$N-1$个输入$\tilde{u}(k+1+i|k+1)$继承自$k$时刻的可行解；最后一个输入$K{x}^{\ast }(k+N|k)$满足$\mathcal{U}$，因为${\mathcal{X}}_f$是控制不变集。
   • 状态约束：前$N-1$个状态$\tilde{x}(k+1+i|k+1)$继承自可行解；最后一个状态$(A+BK)x^{\ast }(k+N|k)\in {\mathcal{X}}_f$，由控制不变性保证。
   • 终端约束：$\tilde{x}(k+1+N|k+1)=(A+BK)x^{\ast }(k+N|k)\in {\mathcal{X}}_f$。

4. 结论：候选序列满足所有约束，因此$k+1$时刻的优化问题可行。由数学归纳法，迭代可行性成立。

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步骤3：证明稳定性（Stability）

目标：证明闭环系统在MPC控制下渐近稳定，即$x(k)\to 0$当$k\to \infty$。

证明过程：

1. 定义李雅普诺夫函数：
   令$V(k)=J^{\ast }(k)$，即当前时刻的最优目标函数值。需证明：
   $$V(k+1)-V(k)\le -x(k{)}^{T}Qx(k).$$

2. 分析目标函数的变化：

   • 当前时刻的最优目标函数：
     $$V(k)=\sum _{i=0}^{N-1}\left(x^{\ast }(k+i|k{)}^{T}Q{x}^{\ast }(k+i|k)+u^{\ast }(k+i|k{)}^{T}R{u}^{\ast }(k+i|k)\right)+x^{\ast }(k+N|k{)}^{T}P{x}^{\ast }(k+N|k).$$
   • 下一时刻的目标函数候选值（使用步骤2的候选序列）：
     $$\tilde{V}(k+1)=\sum _{i=0}^{N-1}\left(\tilde{x}(k+1+i|k+1{)}^{T}Q\tilde{x}(k+1+i|k+1)+\tilde{u}(k+1+i|k+1{)}^{T}R\tilde{u}(k+1+i|k+1)\right)+\tilde{x}(k+1+N|k+1{)}^{T}P\tilde{x}(k+1+N|k+1).$$
   • 由于候选序列不一定是最优的，故：
     $$V(k+1)\le \tilde{V}(k+1).$$

3. 计算差值：
   $$\begin{array}{rl}& \tilde{V}(k+1)-V(k)\\ =& \underset{\text{首项被移除}}{\underbrace{-x(k{)}^{T}Qx(k)-u(k{)}^{T}Ru(k)}}\\ & +\underset{\text{新终端状态贡献}}{\underbrace{x^{\ast }(k+N|k{)}^T\left[(A+BK{)}^{T}P(A+BK)-P\right]x^{\ast }(k+N|k)}}\\ & +\underset{\text{新增的最后一步代价}}{\underbrace{x^{\ast }(k+N|k{)}^T(Q+K^{T}RK)x^{\ast }(k+N|k)}}\\ =& -x(k{)}^{T}Qx(k)-u(k{)}^{T}Ru(k)\\ & +x^{\ast }(k+N|k{)}^T\left[(A+BK{)}^{T}P(A+BK)-P+Q+K^{T}RK\right]x^{\ast }(k+N|k).\end{array}$$

根据代数Riccati方程，有：

$$(A+BK{)}^{T}P(A+BK)-P+Q+K^{T}RK=0.$$

因此：
$$\tilde{V}(k+1)-V(k)=-x(k{)}^{T}Qx(k)-u(k{)}^{T}Ru(k)\le -x(k{)}^{T}Qx(k).$$

4. 稳定性结论：
   • 由$V(k+1)\le \tilde{V}(k+1)\le V(k)-x(k{)}^{T}Qx(k)$，可知$V(k)$是递减序列且有下界（$V(k)\ge 0$），故$V(k)\to 0$。
   • 由于$Q\succ 0$，可得$x(k)\to 0$，即闭环系统渐近稳定。

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总结

对于线性系统，通过合理设计终端约束${\mathcal{X}}_f$（控制不变集）和终端代价$P$（LQR解），MPC的迭代可行性由控制不变性保证，稳定性则由目标函数的李雅普诺夫性质保证。此框架可推广至带约束的线性系统，是经典MPC理论的核心结果。

$$\begin{gathered} (A+BK{)}^{T}P(A+BK)-P+Q+K^{T}RK=0 \\ \downarrow K=-(B^{T}PB+R{)}^{-1}{B}^{T}PA \\ P=A^{T}PA-A^{T}PB(R+B^{T}PB{)}^{-1}{B}^{T}PA+Q. \end{gathered}$$