hdu暑期多校第一场 Operation （线性基）

线性基：处理异或的有力工具。线性基是一个集合，由已知的集合求出。线性基有如下性质。

先看线性基是如何构造的：

其中 d[] 数组保存线性基各元素，d[i] 的第 i+1位是1，且第i+1位是最高位。d[i] 是由若干个已知集合中的元素异或得到的。

LL d[60]; //保存线性基各元素
void Add(LL x){
    for(int i=60; i>=0; i--){
        if(x >> i) { //第i+1位是1
            if(d[i]) x ^= d[i];
            else { d[i] = x; break; }
        }
    }
}

1. 集合中的任意元素可以由线性基中的某些元素异或得到。
2. 线性基中的任意若干元素异或起来都得不到0。
3. 线性基的元素个数一定，且在保证性质1的条件下，元素个数是最少的。

各性质相关证明 https://blog.youkuaiyun.com/a_forever_dream/article/details/83654397 

有了线性基之后可以求：在一个数列中取若干数进行异或能得到的最大值、最小值、第 k 小值。

最大值：贪心即可，从高位到低位

LL Xormax(){
    LL ans = 0;
    for(int i=60; i>=0; i--)
        if((ans^d[i]) > ans)
            ans ^= d[i];
    return ans;
}

最小值：是线性基中最小的数

LL Xormin(){
    for(int i=0; i<=60; i++)
        if(d[i]!=0) return d[i];
}

第k小值：要将 d[] 中的数组处理一下。将每个d[i]二进制中除最高位之外的，且能被d[j]最高位的1异或掉的1消去。换句话说就是保证只有d[i] 的二进制的第 i+1位是1，其他d[j] 的第 i+1 位一定是0。
例如：1001101                    处理完之后： 1000100
                 1011                                                 1001
                     10                                                     10

LL k_thmin(int k){
    if(k == 1 && tot < n) return 0;//假如k=1（求最小），并且原来的序列可以异或出0，就要返回0,tot表示线性基中的元素个数，n表示序列长度
    if(tot < n) k--;      //类似上面，去掉0的情况，因为线性基中只能异或出不为0的解
    for(int i=1; i<=60; i++)
        for(int j=1; j<=i; j++)
            if(d[i] & (1LL<<(j-1)))
                d[i] ^= d[j-1];
    LL ans = 0;
    for(int i=0; i<=60; i++)
        if(d[i] != 0) {
            if(k&1) ans ^= d[i];
            k >>= 1;
        }
    return ans;
}

题目：

http://acm.hdu.edu.cn/contests/contest_showproblem.php?pid=1002&cid=848

一个数列，若干操作，两种类型操作：0、询问 [l, r] 内取若干元素异或和最大值。1、在数列末尾添加一个数x。其中的 l ,r , x 的值还有些其他处理。

思路：先只考虑第一个条件，询问区间内的异或和最大值，可以用一个pos数组记录每次Add操作时的位置，求最大值时加上一个判断条件即可。考虑第二个条件，每次加上一个元素时相当于再进行一次Add操作，每次记录添加一个值时的线性基，把数组开成二维即可。

与正常线性积区别就是：正常情况下线性积中保存的是先插进来的数，而现在要尽量将后插入的数存在线性积中，所以有插入过程中多了一步判断交换步骤。

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e6+5;

struct Line_Base{
    const static int sz = 35;
    int n, a[maxn][sz], b[maxn][sz];
    void build(){n=0;}
    void add(int x){
        int cur = ++n;
        for(int i=31; i>=0; --i){
            a[n][i] = a[n-1][i];
            b[n][i] = b[n-1][i];
        }
        for(int i=31; i>=0; --i){
            if(x >> i){
                if(!a[n][i]){
                    a[n][i] = x;
                    b[n][i] = cur;
                    break;
                }else {
                    if(cur > b[n][i]) swap(a[n][i], x), swap(b[n][i], cur);
                    x ^= a[n][i];
                }
            }
        }
    }
    int query(int l, int r){
        l = l%n + 1; r = r%n + 1;
        if(l > r) swap(l, r);
        int ret = 0;
        for(int i=31; i>=0; --i)
            if(b[r][i] >= l)
                ret = max(ret, ret^a[r][i]);
        return ret;
    }
}b;
int main()
{
    int t, n, m, x, y, op;
    scanf("%d", &t);
    while(t--){
        b.build();
        scanf("%d%d", &n, &m);
        for(int i=0; i<n; i++) scanf("%d", &x), b.add(x);
        int ans = 0;
        for(int i=0; i<m; i++){
            scanf("%d", &op);
            if(op == 0){
                scanf("%d%d", &x, &y);
                printf("%d\n", ans=b.query(x^ans, y^ans));
            }else scanf("%d", &x), b.add(x^ans);
        }
    }
}