单调队列总结

最新推荐文章于 2025-03-14 22:13:38 发布

网络骑士hrg.

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文章标签：算法数据结构

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/ATION001/article/details/145147779

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声明：文章同步发表于我的洛谷博客。

不得不说，这玩意是真的烧脑。我至少学了三遍才学会。

我们先看一道题：

P1886 滑动窗口 /【模板】单调队列

~~作为一名 OIer，我们肯定是优先上暴力大法（暴力该怎么写不用我说了吧）。~~

我们先拿单调栈试试（数据：1 3 -1 -3 5 3 6 7，区间长度为 $3$ ，先找最大值）：

$1$ 入栈，栈变为 $[1]$ 。

$3$ 入栈，栈变为 $[1,3]$ 。

$-1$ 入栈，栈变为 $[-1]$ （这还是求最大值吗？）。

$-3$ 入栈，栈变为 $[-3]$ 。

$5$ 入栈，栈变为 $[-3,5]$ 。

$3$ 入栈，栈变为 $[-3,3]$ （这是区间吗……）。

$6$ 入栈，此时我们现在遇到了一个问题：怎么把 $-3$ 扔出去。

到了这里，你应该就能发现，栈由于本身容器的限制，无法方便地实现窗口最值查询（当然如果你能用单调栈做出来那必须 Orz）。

因此我们考虑使用队列进行维护，准确来说是双端队列。

STL 双端队列（deque）使用方法（局部）：

成员函数	功能
deque<int>q	定义一个 int 类型的双端队列 $q$
q.size()	返回双端队列中的元素数量
q.empty()	判断队列是否非空，为空返回 true，否则返回 false
q.front()	返回队列的队头元素
q.back()	返回队列的队尾元素
q.clear()	将队列清空
q.pop_front()	从队头弹出一个元素
q.pop_back()	从队尾弹出一个元素
q.push_front()	从队头压入一个元素
q.push_back()	从队尾压入一个元素

接下来我们手动模拟一个求区间最大值（区间长度为 $3$ ）的单调队列：

数据：1 3 -1 -3 5 3 6 7。

$1$ 进队，队列变为 $[1]$ 。

$3$ 进队， $1<3$ ，队列变为 $[3]$ 。

$-1$ 进队， $-1<3$ ，队列变为 $[3,-1]$ 。

$-3$ 进队， $-3<-1$ ，队列变为 $[3,-1,-3]$ 。

$3$ 的范围越界，队列变为 $[-1,-3]$ ； $5$ 进队，队列变为 $[5]$ 。

$3$ 进队， $3<5$ ，队列变为 $[5,3]$ 。

$6$ 进队，队列变为 $[6]$ 。

$7$ 进队， $6<7$ ，队列变为 $[7]$ 。

模拟结束。

如果这不够形象的话就看看题目提供的图吧：

单调队列在算法竞赛中主要有两个应用点：

1. 求解固定长度的区间最值。
2. 优化动态规划转移过程。

Q：单调队列是否适用于所有类型的数据？

A：不是的。单调队列主要能处理有这几种特点的数据：

1. 有序性。单调队列适用于具有潜在单调性趋势的数据序列。比如在滑动窗口问题中，数据是按照一定的顺序（如数组的索引顺序）排列的，并且窗口内的数据元素之间存在大小比较关系。如果数据是完全无序的，并且没有明显的顺序可以利用来建立单调性，那么单调队列就不太适用（也就是说你很难找到数据之间的比较方式）。

2. 数据规模较大。如果某道题， $1\le n\le 10^4$ ，要你求出某一段的区间最值。用暴力枚举就能做，那么用单调队列做就有点“大炮打蚊子——大材小用”的感觉了。

3. 最值查询问题。单调队列非常适合用于求解区间最值问题，如果是求和，求异或和，求最大公因数等其他方面的问题，单调队列就不太适用了（当然我没说不可以用）。

好了，回归正题，我们现在该解决的问题是：P1886 该怎么解决？

~~不是吧到了这里应该会写 P1886 了吧。~~

我们维护两个单调队列，一个用来维护区间最小值，一个用来维护区间最大值。

主要步骤如下：

1. 将已经超出区间范围的元素从队头弹出。

示例：

while(q.size()&&q.front()+m<=i){
        q.pop_front();
   }

3. 从队尾开始，如果队尾元素大于/小于当前元素的值，那么从队尾弹出元素：

示例（维护区间最小值）：

 while(q.size()&&a[q.back()]>=a[i]){
       q.pop_back();
   }

4. 从队尾压入当前元素：

示例：

q.push_back(i);

忠告：在查询/删除容器中的元素之前，一定要判断容器是否非空，否则在赛场上 RE 了别怪我没提醒你……而且建议大家在判断队头元素是否在区间范围内时，从减法判断转化为加法判断。因为有些题要开 unsigned long long 才能过，此时用减法判断就有可能出错。

实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int n,m,t,a[1000005],X;
deque<int>qmin,qmax;
signed main(){
    ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        while(qmin.size()&&qmin.front()+m<=i){
            qmin.pop_front();
        }
        while(qmin.size()&&a[qmin.back()]>=a[i]){
            qmin.pop_back();
        }
        qmin.push_back(i);
        if(i>=m){
            cout<<a[qmin.front()]<<' ';
        }
    }
    cout<<'\n';
    for(int i=1;i<=n;i++){
        while(qmax.size()&&qmax.front()+m<=i){
            qmax.pop_front();
        }
        while(qmax.size()&&a[qmax.back()]<=a[i]){
            qmax.pop_back();
        }
        qmax.push_back(i);
        if(i>=m){
            cout<<a[qmax.front()]<<' ';
        }
    }
    return 0;
}

P8661 [蓝桥杯 2018 省 B] 日志统计

挺简单的，甚至都不需要比较……

我们先将点赞记录按照时间从小到大排序，然后遍历每个点赞记录。

如果点赞记录对应的帖子还不是“热帖”，那么我们先将对应的单调队列中的无用元素（时间超过限制）弹出，然后将新纪录压入单调队列中，如果此时单调队列中的元素大于等于 $K$ ，说明这个帖子成了“热帖”，标记答案。

实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,k,d;
deque<int>q[100005];
pair<int,int>a[100005];
bool ans[100005];
signed main(){
    ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>n>>d>>k;
    int maxid=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i].first>>a[i].second;
        maxid=max(maxid,a[i].second);
    }
    sort(a+1,a+n+1);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(!ans[a[i].second]){
            while(q[a[i].second].size()&&a[i].first-q[a[i].second].front()>=d){
                q[a[i].second].pop_front();
            }
            q[a[i].second].push_back(a[i].first);
            if(q[a[i].second].size()>=k){
                ans[a[i].second]=true;
            }
        }
    }
    for(int i=0;i<=maxid;i++){
        if(ans[i]){
            cout<<i<<'\n';
        }
    }
    return 0;
}