P4551 详解&01-Trie

普通字典树主要是用来存储字符串。

但如果需要处理进制类问题呢？

比如 P4551 最长异或路径。

需要使用 01 字典树解决该问题。

什么是 01 字典树？

01 字典树是字典树（Trie）的一种变体。与普通字典树存储字符（如 $26$ 个字母）不同，01 字典树的每个节点只有两个子节点：$0$ 和 $1$。它专门用于存储和查询二进制形式的数字。

主要是快速解决异或相关的问题。

大致结构：

操作

插入：

枚举第 $i$ 位二进制。

取当前二进制位数值。

根据二进制数值插入到指定位置。

查询：

枚举第 $i$ 位二进制。

设数值为 $x$。

判断 $x\oplus 1$ 是否存在。

若存在，加上 $2^i$ 的贡献并向 $x\oplus 1$。

否则向 $x$ 移动。

时间复杂度为 $O(n)$，足够通过本题。

实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int n,ans,tmp=1,dis[3200005],node[3200005][2];
vector<array<int,2>>v[3200005];
void dfs(int x,int fa){
	for(auto z:v[x]){
		if(z[0]!=fa){
			dis[z[0]]=(z[1]^dis[x]);
			dfs(z[0],x);
		}
	}
}
void Insert(int val){
	int u=1;
	for(int k=30;~k;k--){
		int c=(val>>k)&1;
		if(!node[u][c]){
			node[u][c]=++tmp;
		}
		u=node[u][c];
	}
}
int Search(int val){
	int u=1,sum=0;
	for(int k=30;~k;k--){
		int c=(val>>k)&1;
		if(node[u][c^1]){
			u=node[u][c^1];
			sum+=(1<<k);
		}else{
			u=node[u][c];
		}
	}
	return sum;
}
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>n;
	for(int i=1,x,y,w;i<n;i++){
		cin>>x>>y>>w;
		v[x].push_back({y,w});
		v[y].push_back({x,w});
	}
	dfs(1,-1);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		Insert(dis[i]);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		ans=max(ans,Search(dis[i]));
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}

Q：已知一棵带权树从根节点到 $x$ 和 $y$ 的异或和，求 $x$ 到 $y$ 之间的唯一路径的异或和？

A：记从根节点到 $x$ 的异或值为 $a$，根节点到 $y$ 的异或值为 $b$，则 $x$ 到 $y$ 的异或和为：$a\oplus b$。