树的直径解释

定义

树上任意两点之间的最长简单路径即为「树的直径」。

性质

1. 树的直径不一定唯一。

   举个例子，比如说有这么一棵树：

   

   假设这张图中每一条边边权均为 $1$，那么手动推算一下，发现直径有：2 -> 1 -> 4 -> 5，3 -> 1 -> 4 -> 6（自己手动去推，这里就不一一例举了）……

---

2. 树的直径的端点一定是深度为 $1$ 的点。

   对于这种图论的知识点还是先画张图（边权都是 $1$）：

   

   现在我们找的点对是 $(2,4)$，假设 $(2,4)$ 是这棵树的直径。

   但是，$2$ / $4$ 除了两个点向连接的那条边之外，$2$ 还连接了 $1$ / $3$，$4$ 连接了 $5$ / $6$。显然还能继续拓展，可以证明，$(2,4)$ 一定不是树的直径。

---

3. 树的直径若有多条，那么所有的树的直径一定交汇于 $1$ 个或 $2$ 个点。这 $1$ 个或 $2$ 个点即为「树的中心」。

   我们采用反证法进行证明：

   假设两条直径 $(A,B)$，$(C,D)$ 互不相交，因为树是联通的，所以一定存在一条路径连接这两条直径上的点。我们设 $(A,B)$ 上某一个点为 $x$，$(C,D)$ 上某一个点为 $y$。

   现在，我们从 $A$ 出发，依次经过 $x$、$y$ 到达 $D$。显然，新路径比 $(A,B)$ 要长，与 $(A,B)$ 为直径互相矛盾，所以假设不成立。

   不过，需要注意上面假设成立的条件是：不存在 $3$ 个以上的连续的边权为 $0$ 的路径。

   比如说下面这张图：

   

   假设我们选择路径 $(1,2)$ 与 $(5,4)$，这两条路径没有相交且均为「树的直径」，这种情况下，假设失效。

---

4. 树上任意点 $i$，距离其最远的点 $x$，一定是树的直径的某个端点。

   同样采用反证法，假设 $x$ 不是直径的某个端点，那么存在一条从 $i$ 开始的路径，比从 $i$ 到 $x$ 要更长。

   矛盾点就在于，如果 $x$ 不为直径的某个端点，那么 $i$ 到 $x$ 的路径不可能是最长的路径。但是根据 $x$ 的定义，$x$ 是距离 $i$ 最远的点。意味着 $i$ 到 $x$ 的路径是树的最长路径之一，显然假设不成立。

   所以，$x$ 一定是树的直径的某个端点。

解法

解法1：Floyd

先运行一遍 Floyd，然后找出最长路径的长度。

时间复杂度 $O(n^3)$，效率低下。

解法2：两遍 DFS

第一遍，我们从任意一点开始跑 DFS。为了方便，我们通常选择从 $1$ 节点开始跑。

求出距离其最远的点 $x$。

然后，从 $x$ 开始跑第二遍 DFS。找出距离其最远的点 $y$，顺带求出直径的长度。

时间复杂度 $O(n)$，比较优秀。

解法3：树形 DP

在上面 DFS 的解法中，你可能会发现一个问题：解法 $2$ 跑不了负边权。

Hack

Input：

9
1 2 -3
1 3 1
2 4 -7
4 5 4
4 6 -2
6 7 -3
7 8 -9
7 9 3

Output:

5

我们需要找出一条最长链和一条次长链，且最长链和次长链互不相交。

求出从任意节点出发，最长链的长度和次长链的长度。

用树形 DP 来维护就行了。

例题：B4016 树的直径

两遍 DFS 解法

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int n,sum,id;
vector<int>v[100005];
void dfs(int x,int fa,int len){
	if(len>=sum){
		sum=len,id=x;
	}
	for(auto z:v[x]){
		if(z!=fa){
			dfs(z,x,len+1);
		}
	}
}
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>n;
	for(int i=1,x,y;i<n;i++){
		cin>>x>>y;
		v[x].push_back(y);
		v[y].push_back(x);
	}
	dfs(1,-1,0);
	dfs(id,-1,0);
	cout<<sum;
	return 0;
}

树形 DP 解法

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int n,dp[200005],ans=-1e18,dp1[200005];
vector<int>v[200005];
void dfs(int x,int fa){
	for(auto z:v[x]){
		if(z!=fa){
			dfs(z,x);
			if(dp[x]<=dp[z]+1){
				dp1[x]=dp[x];
				dp[x]=dp[z]+1;
			}else if(dp1[x]<=dp[z]+1){
				dp1[x]=dp[z]+1;
			}
		}
	}
	ans=max(ans,dp[x]+dp1[x]);
}
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>n;
	for(int i=1,x,y;i<n;i++){
		cin>>x>>y;
		v[x].push_back(y);
		v[y].push_back(x);
	}
	dfs(1,-1);
	cout<<ans;
	return 0;
}