HDU 1757 矩阵快速幂

本文介绍了一种解决HDU1757问题的简单矩阵构造方法,通过构造特定矩阵并应用快速幂运算来求解大数问题,有效避免了数组溢出的情况。

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传送门: HDU 1757

题解:

简单的矩阵构造
构造矩阵时注意数组不要溢出, 或者把数组开大


构造

|0 1 0 ……… .0| * |f(0)| = | f(1) |
|0 0 1 ………. 0| * |f(1)| = | f(2) |
|…………………1| * |……| = |……..|
|a9 a8 ………a0| * |f(9)| = |f(10)|

注意取模

code:

/*
adrui's submission
Language : C++
Result : Accepted
Love : ll
Favorite : Dragon Balls

Standing in the Hall of Fame
*/



#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
using namespace std;

#define debug 0
#define LL long long
#define M(a, b) memset(a, b, sizeof(a))

int k, m;
struct Matrix {                             //矩阵
    int mat[10][10];
    void init() {
        M(mat, 0);
        for (int i = 0; i < 10; i++)
            mat[i][i] = 1;
    }
    void Debug() {                          //debug
        for (int i = 0; i < 10; i++)
            for (int j = 0; j < 10; j++)
                printf("%d%s", this->mat[i][j], j == 9 ? "\n" : " ");
    }
};

Matrix operator * (Matrix a, Matrix t) {                //矩阵乘法
    Matrix c;
    M(c.mat, 0);

    for (int i = 0; i < 10; i++)
        for (int j = 0; j < 10; j++)
        {
            for (int k = 0; k < 10; k++)
                c.mat[i][j] = (c.mat[i][j] + a.mat[i][k] * t.mat[k][j]) % m;
        }

    return c;
}
Matrix operator ^ (Matrix tmp, int b) {                    //快速幂
    Matrix res;
    res.init();

    while (b) {
        if (b & 1) res = res * tmp;
        tmp = tmp * tmp;
        b >>= 1;
    }

    return res;
}
int main() {
#if debug
    freopen("in.txt", "r", stdin);
#endif //debug

    while (~scanf("%d%d", &k, &m)) {
        if (k < 10)
            printf("%d\n", k % m);
        else {
            Matrix tmp;
            M(tmp.mat, 0);           //构造底数矩阵
            for (int i = 0; i < 10; i++) {
                scanf("%d", &tmp.mat[0][i]);
                if(i <= 8)
                    tmp.mat[i + 1][i] = 1;     //注意防溢出
            }  

            //tmp.Debug();
            Matrix res = tmp ^ (k - 9);         //快速幂
            //res.Debug();

            int ans = 0;
            for (int i = 0; i < 10; i++) {
                ans = (ans + i * res.mat[0][9 - i]) % m;
            }

            printf("%d\n", ans);
        }
    }
    return 0;
}
### HDU 2544 题目分析 HDU 2544 是关于最短路径的经典问题,可以通过多种方法解决,其中包括基于邻接矩阵的 Floyd-Warshall 算法。以下是针对该问题的具体解答。 --- #### 基于邻接矩阵的 Floyd-Warshall 实现 Floyd-Warshall 算法是一种动态规划算法,适用于计算任意两点之间的最短路径。它的时间复杂度为 \( O(V^3) \),其中 \( V \) 表示节点的数量。对于本题中的数据规模 (\( N \leq 100 \)),此算法完全适用。 下面是具体的实现方式: ```cpp #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; const int INF = 0x3f3f3f3f; int dist[105][105]; int n, m; void floyd() { for (int k = 1; k <= n; ++k) { // 中间节点 for (int i = 1; i <= n; ++i) { // 起始节点 for (int j = 1; j <= n; ++j) { // 结束节点 if (dist[i][k] != INF && dist[k][j] != INF) { dist[i][j] = min(dist[i][j], dist[i][k] + dist[k][j]); } } } } } int main() { while (cin >> n >> m && (n || m)) { // 初始化邻接矩阵 for (int i = 1; i <= n; ++i) { for (int j = 1; j <= n; ++j) { if (i == j) dist[i][j] = 0; else dist[i][j] = INF; } } // 输入边的信息并更新邻接矩阵 for (int i = 0; i < m; ++i) { int u, v, w; cin >> u >> v >> w; dist[u][v] = min(dist[u][v], w); dist[v][u] = min(dist[v][u], w); // 如果是有向图,则去掉这一行 } // 执行 Floyd-Warshall 算法 floyd(); // 输出起点到终点的最短距离 cout << (dist[1][n] >= INF ? -1 : dist[1][n]) << endl; } return 0; } ``` --- #### 关键点解析 1. **邻接矩阵初始化** 使用二维数组 `dist` 存储每一对节点间的最小距离。初始状态下,设所有节点对的距离为无穷大 (`INF`),而同一节点自身的距离为零[^4]。 2. **输入处理** 对于每条边 `(u, v)` 和权重 `w`,将其存储至邻接矩阵中,并取较小值以防止重边的影响[^4]。 3. **核心逻辑** Floyd-Warshall 的核心在于三重循环:依次尝试通过中间节点优化其他两节点间的距离关系。具体而言,若从节点 \( i \) 到 \( j \) 可经由 \( k \) 达成更优解,则更新对应位置的值[^4]。 4. **边界条件** 若最终得到的结果仍为无穷大(即无法连通),则返回 `-1`;否则输出实际距离[^4]。 --- #### 性能评估 由于题目限定 \( N \leq 100 \),因此 \( O(N^3) \) 的时间复杂度完全可以接受。此外,空间需求也较低,适合此类场景下的应用。 ---
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