一个反函数习题

原创已于 2023-10-14 16:41:25 修改 · 582 阅读

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于 2023-10-14 16:30:19 首次发布

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博客围绕反函数问题展开，给出具体问题，按照反函数定义进行求解，得出相关结果。同时指出该反函数定义域是特定不等式的解集，并进行了相应说明。

问题：设 $f(x)=\sin x, f(\varphi(x))=1-x^2.$ 求 $\varphi(x),$ 并指出其定义域.

解：按照反函数的定义，如果 $g$ 是 $f$ 的反函数，则 $g(f(x))=x, f(g(y))=y.$ 所以

$g(f(\varphi(x)))=\varphi(x).$

依题意， $f(x)=\sin x \Rightarrow g(x)=\arcsin x.$ 所以 $\varphi(x)=\arcsin(1-x^2).$ 不难看出 $\varphi(x)$ 的定义域是不等式 $|1-x^2| \leq 1$ 的解集，即 $-\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}.$

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