埃氏筛法与欧拉筛法

埃氏筛法

埃氏筛法的基本的基本原理：
假如要 求n以内的所有素数，就必须将根号n以内的所有素数的倍数全部筛掉。剩下的就是所求的结果。
首先明确一点素数的倍数都是合数。接下来讲一下为什么是求根号n以内的所有素数，而不是n以内的所有素数。

一个数总能表示成1个素数和一个数乘积的形式，例如n = a * b ,a是素数，b是另一个数，但是b不是1，这样的话，那就是一个合数，根据n = 根号n * 根号n,所以那个a和b中较小的素数不会超过根号n,所以只需求根n以内的所有素数即可
下面上代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N = 1000;
int prime[N];
int a[N];//用作标记
int main()
{
    int sq,cnt = 0;
    memset(a,1,sizeof(a));
    for(int i = 2;i <= N; ++i)
    {
        if(a[i])
        {
            prime[cnt++] = i;
        }
        for(int j = i * i ; j <= N; j += i) // j从i×i，比从2 × i快一些
        {
            a[j] = 0;
        }
    }
    for(int i = 0; i <= cnt;++i)
    {
        cout << prime[i] << endl;
    }
    return 0;
}

但是这个算法也是有缺陷的，因为它会重复多次的对同一个数进行不必要的操作。例如 12 = 2 * 6, 同时 12 = 3 * 4 ,这样20就会被重复操作很多次，进而浪费了时间。现在要考虑如何避免对这样的数进行重复的操作，接下来就是讲解欧拉筛法，欧拉筛法就解决了这个问题。首先考虑为什么会对20这个数进行重复操作，因为当操作素数3时，倍数4又是素数2的倍数，这样就造成了重复，因此欧拉就想了个办法，把每个数全部表示成素数的形式，例如12 = 2 × 2 × 3，每次只筛分解后的最小的素数因子不能被其他已经确定的素数整除。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int  N = 1000;
int prime[N];
int main()
{
    memset(prime,0,sizeof(prime));
    for(int i = 2; i <= N;++i)
    {
        if(!prime[i]) prime[++prime[0]] = i;
        for(int j = 1; j <= prime[0] && i * prime[j] <= N; ++j)
        {
            prime[i * prime[j]] = 1;
            if(i % prime[j] == 0)
                break;
        }
    }
    for(int i = 1;i <= N;++i)
    {
        if(!prime[i])
            cout << i << endl;
    }
    return 0;
}

其实第一种算法还可以加一下优化，以为偶数肯定不是素数，可提前将其筛掉。
两种方法各有优缺点，但就做题而言，差别并不大。