点支配、点覆盖、点独立

【概念】

（1）点支配集，极小点支配集，最小点支配集，点支配数----γ0(G);

（2）点覆盖集，极小点覆盖集，最小点覆盖集，点覆盖数----α0(G);

（3）点独立集，极大点独立集，最大点独立集，点独立数----β0(G);

（4）边覆盖集，极小边覆盖集，最小边覆盖集，边覆盖数----α1(G);

（5）边独立集，及答辩独立集，最大边独立集，边独立数----β1(G);

对于无向图来说，且没有孤立顶点：

α0(G)+β0(G) = n;

α1(G)+β1(G) = n;

对于二部图来说，(无向二部图G有n个顶点，且没有孤立顶点):

α0(G) = β1(G) ;

β0(G) = n - β1(G);

说明：如果二部图有m个孤立顶点，则β0(G) 和n中分别扣除m个孤立顶点后满足该式，即：β0(G) -m = n-m-β1(G)。这样原式：β0(G) = n - β1(G)，仍然成立。

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【支配与支配集】：

设无向图为G(V,E)，顶点集合V*属于V，若对于任意v∈(V-V*)，存在一个u∈V*，使得(u,v)∈E，则称u支配v，并称V*为G的一个点支配集。

通俗的讲，V-V*中的每个顶点都是V*中某个顶点的邻接顶点，或者说V中的顶点要么是V*集合中的元素，要么与V*中的一个顶点相邻。

极小支配集：若支配集V*的任何真子集都不是支配集，则称V*是极小支配集。

最小支配集：顶点数最少的支配集称为最小支配集。

点支配数：最小支配集中的顶点数称为点支配数。

点支配集的性质

性质1：若G中无孤立顶点，则存在一个支配集V*，使得G中除V*外的所有顶点也组成一个支配集。

性质2：若G中无孤立顶点，V*为极小支配集，则G中除V*外的所有顶点也组成一个支配集。

POJ 3659

基本算法：

以最小支配集为例，首先选择一点为根，按照深度优先遍历得到遍历序列，按照所得序列的反向序列的顺序进行贪心，对于一个既不属于支配集也不与支配集中的点相连的点来说，如果他的父节点不属于支配集，将其父节点加入支配集。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
using namespace std;
const int N = 1e5+10;
struct Edge{
    int v,next;
}G[N];
int fa[N];
int vis[N];
int pos[N],head[N],top;
int now,n;
int s[N];
int set[N];
void init(){
    now = 0,top = 0;
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    memset(head,-1,sizeof(head));
    memset(s,0,sizeof(s));
    memset(set,0,sizeof(set));
}
void DFS(int u){
    pos[now++] = u;
    for(int i = head[u]; ~i; i=G[i].next){
        int v = G[i].v;
        if(!vis[v]){
            vis[v] = 1;
            fa[v] = u;
            DFS(v);
        }
    }
}
void add(int u,int v){
    G[top] = {v,head[u]};
    head[u] = top++;
}
int MDS(){
    int ans = 0;
    for(int i = now-1; i >= 0; --i){
        int t = pos[i];
        if(!s[t]){
            if(!set[fa[t]]){
                set[fa[t]] = 1;
                ans++;
            }
            s[t] = 1;
            s[fa[t]] = 1;
            s[fa[fa[t]]] = 1;
        }
    }
    return ans;
}
int main(){
    int u,v;
    while(~scanf("%d",&n)){
        init();
        for(int i = 0; i < n-1; ++i){
            scanf("%d%d",&u,&v);
            add(u,v),add(v,u);
        }
        DFS(1);
        int ans = MDS();
        cout<<ans<<endl;
    } 
    return 0;
}

【点覆盖】

点覆盖集V*，就是G中所有的边至少有一个顶点属于V*。

极小点覆盖：若点覆盖V*的任何真子集都不是点覆盖，则称V*是极小点覆盖。

最小点覆盖：顶点个数最少的点覆盖称为最小点覆盖。

点覆盖数：最小点覆盖的顶点数称为点覆盖数。

求点覆盖数。

int MPC()
{
    int s[N] = {0};
    int set[N] = {0};
    int ans = 0;
    for(int i=now-1;i>=0;i--)
    {
        int t = pos[i];
        if(!s[t] && !s[fa[t]])
        {
            set[fa[t]] = 1;
            ans++;
            s[t] = 1;
            s[fa[t]] = 1;
        }
    }
    return ans;
}

【点独立】

点独立集：设无向图为G(V,E)，顶点集合V*属于V，若V*中任意两个顶点都均不相邻，则称V*为G的点独立集。

极大点独立集：若在V*中加入任何顶点都不再是独立集，则称V*为极大点独立集。

最大点独立集：顶点数最多的点独立集称为最大点独立集。

点独立数：最大点独立集的顶点数称为点独立数。

点独立数

int MIS()
{
    int s[N] = {0};
    int set[N] = {0};
    int ans = 0;
    for(int i=now-1;i>=0;i--)
    {
        int t = pos[i];
        if(!s[t])
        {
            set[t] = 1;
            ans++;
            s[t] = 1;
            s[fa[t]] = 1;
        }
    }
    return ans;
}

【点支配集、点覆盖集、点独立集之间的联系】

定理 1 设无向图G(V,E)中无独立顶点，则G的极大点独立集都是G的极小支配集。逆命题不成立(即极小支配集未必是极大独立集).

定理 2 一个独立集是极大独立集，当且仅当它是一个支配集。

定理 3 设无向图G(V,E)中无独立顶点，则V*是G的极小(最小)点覆盖集，当且仅当V-V*是G的极大(最大)点独立集，从而有：点覆盖+点独立=n（n为顶点个数）。