图论（14）点覆盖与哥尼定理

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点覆盖与哥尼定理

点覆盖与最小点覆盖

最大匹配最小点覆盖定理

哥尼定理

托特定理

彼得森定理（要求掌握）

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点覆盖与哥尼定理

点覆盖与最小点覆盖

现在还没有好的方法来求最小点覆盖，所以还是得靠观察

点覆盖的本质就是一个顶点子集，匹配时边子集，只不过匹配要求不能里边的边不能有公共交点

最大匹配最小点覆盖定理

上边G打错了，最后一句话，而K是最小覆盖，这个定理说明，当匹配中的边数等于点覆盖中的点数，那么此匹配是最大匹配，点覆盖是最小点覆盖。

哥尼定理

例题：

托特定理

减去一个顶点真子集，得到的图的奇分支数目小于等于改真子集包含的顶点数，注意是任意一个非空真子集S都要满足这个不等式

为什么有完美匹配一定是偶数阶的树呢？因为完美匹配是指匹配中包含的边覆盖了所有的顶点，而且顶点没有重合，所以图的顶点数目就是完美匹配中边的数目的两倍。一定是偶数啦。对于一个偶数阶的树，删去一个顶点，得到的图的顶点数一定是奇数，对于这个奇数阶的图，其奇分支的数目一定是大于等于1的（即o(G-v)>=1），所以就推出了结论。

每个顶点都对应一个奇分支，M是各个顶点连到其对应的奇分支上的边构成的集合。但注意每一个这种边，都对应了两个顶点

彼得森定理（要求掌握）

Gi中总度数2|E(Gi)|,根据是握手定理

在Gi中的点，在原图G中的总度数是3|V（Gi）|,因为原图是3正则图

mi=3|V（Gi）|-2|E(Gi)|,因为mi是S中点连到Gi中的线的数量，也就是原图中Gi中点的度减去Gi中点的度

由于Gi是G-S的所有奇分支，其顶点数为奇数个，所以3|V（Gi）|为奇数，所以mi为奇数，

又因为原图无割边，所以mi>=3，如果mi=1的话，这个mi对应的那1条边就成了割边。

因为mi>=3,所以o(G-S) = k奇分支数目小于等于，而因为肯定小于S中点的总度数

毕竟S中点之间可能还有连线，所以总的度数肯定是大于k个mi贡献的度数的

注意最后一行应该是=1/3*3|S|=|S|

由托特定理，这就证明了无割边的3正则图一定存在完美匹配

注意：有割边的3正则图不一定存在完美匹配