polya

1/|G| {m^c(a1)+m^c(a2)+m^c(a3)+...+m^c(ag)}

其中c(ai)为置换ai的循环节数(i = 1,2,...g)。

m种颜色的珠子，每种颜色珠子个数不限，将这些珠子做成长度为n的项链，问能做成多少种不重复的项链。两条项链相同，当且仅当两条项链通过旋转或者翻转后能重合在一起，且对应珠子的颜色相同。

（1）旋转：将项链顺时针旋转i格后，其循环节数为gcd（n，i）；

（2）翻转：

1.当n为奇数时，共有n个循环节数为（n+1）/2的循环群。

2.当n为偶数时，共有n/2个循环节数为（n+2）/2的循环群，和n/2个循环节数为n/2的循环群。

poj 1286 Necklace of Beads

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#include <vector>
#define LL long long
using namespace std;

int main(){
    int n;
    while(scanf("%d",&n),n!=-1){
        if(n <= 0){
            printf("0\n");continue;
        }
        LL sum = 0;
        for(int i = 1; i <= n; ++i){
            int d = __gcd(n,i);
            sum += (LL)pow(3.0,d*1.0);
        }
        if(n&1){
            sum += (LL)(n*pow(3.0,(n+1)/2.0));
        }
        else{
            sum += (LL)((n/2)*pow(3.0,(n+2)/2.0));
            sum += (LL)((n/2)*pow(3.0,(n/2.0)));
        }
        sum /= (LL)(2*n);
        printf("%lld\n",sum);
    }    
    return 0;
}

poj 2409 Let it Bead

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#include <vector>
#define LL long long
using namespace std;

int main(){
    int n,m;
    while(scanf("%d%d",&m,&n),n|m){
        
        LL sum = 0;
        for(int i = 1; i <= n; ++i){
            int d = __gcd(n,i);
            sum += (LL)pow(m*1.0,d*1.0);
        }
        if(n&1){
            sum += (LL)(n*pow(m*1.0,(n+1)/2.0));
        }
        else{
            sum += (LL)((n/2)*pow(m*1.0,(n+2)/2.0));
            sum += (LL)((n/2)*pow(m*1.0,(n/2.0)));
        }
        sum /= (LL)(2*n);
        printf("%lld\n",sum);
    }    
    return 0;
}