74、基于树分解的改进算法解决支配类问题

基于树分解的改进算法解决支配类问题

在图论算法领域，解决支配类问题一直是一个重要且具有挑战性的研究方向。本文将介绍一种改进的动态规划策略，用于解决给定树分解宽度为 k 的图的支配集及相关问题。

1. 引言

支配类问题在图论中已经发展成为一个独立的研究领域。根据 1998 年的一项调查，已有超过 200 篇研究论文探讨了支配及相关图问题的算法复杂度。由于这些问题通常非常困难，甚至对于大多数特殊图类而言是 NP 完全问题，因此研究具有有界树宽的图（即部分 k - 树）的复杂度成为解决其难解性的主要途径。

对于有界树宽 k 的图，支配集问题可以在关于 k 指数级、关于树分解大小线性级的时间内解决。因此，核心问题是尽可能减小 k 的组合爆炸，这正是本文的研究重点。

在详细介绍之前，先明确核心问题——支配集。对于无向图 G，一个 h - 支配集 D 是 G 的 h 个顶点的集合，使得其余每个顶点在 D 中至少有一个邻居。图 G 具有 h - 支配集的最小 h 值称为 G 的支配数，记为 γ(G)。支配集问题就是给定图 G = (V, E) 和正整数 h，判断是否存在 h - 支配集。

通常，基于树宽的算法分两个阶段进行：
1. 为输入图找到有界宽度的树分解。
2. 使用动态规划方法在树分解上解决问题。

在第一阶段，确定图 G 的树宽是否至多为 k 是 NP 完全问题。但当参数 k 为固定常数时，已有很多多项式时间解决方案，其中最著名的是 Bodlaender 的线性时间算法，但该算法隐藏的常数因子关于 k 是指数级的，实际应用中仍然过大。因此，启发式方法也常被用于构建树分解。

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