75、基于树分解的改进算法：解决图的支配集问题

基于树分解的改进算法：解决图的支配集问题

1. 算法正确性与时间复杂度

在解决图的支配集问题时，我们采用的算法具有一定的正确性和时间复杂度特性。

1.1 算法正确性

算法的正确性基于树分解的三个重要性质：
- 性质 1 ：树分解保证每个顶点都被赋予一个颜色。
- 性质 2 ：在初始化步骤以及引入节点和合并节点的更新过程中，将颜色 0 分配给顶点 x 时，能确保在算法的当前阶段，x 已被先前包中的某个顶点所支配。由于树分解的性质 2 规定任意一对相邻顶点至少出现在一个包中，所以会对每对相邻顶点的着色有效性进行检查。
- 性质 3 ：树分解的性质 3 结合算法步骤 2 中的说明，意味着每个映射的更新与算法中先前访问的所有映射保持一致。

1.2 时间复杂度

算法的总运行时间为 (O(4^k n))。这一结论直接由相关引理推导得出。

2. 具有性质 P 的支配集问题

2.1 问题定义

对于无向图 (G = (V, E)) 的顶点集 (V’\subseteq V)，性质 (P) 是一个布尔谓词，当输入 (V)、(E) 和 (V’) 时，它会产生真或假的值。为简化表示，我们直接写 (P(V’)) 而非 (P(V, E, V’))。具有性质 (P) 的支配集问题，就是要找到一个满足性质 (P) 的最小规模支配集 (D)，即 (P(D)) 为真。

2.2 具体问题示例

以下是一些具有性质 (P)