6、信号处理中的频谱密度、传递函数与强度场理论

信号处理中的频谱密度、传递函数与强度场理论

1. 频谱密度基础

信号的频谱密度是一个统计量，对确定频域信号的均方值或功率谱密度非常有用。严格来说，频谱密度是每赫兹的预期功率密度。随着正向傅里叶变换中的时间积分增加，频谱密度的幅度也会增加，同时傅里叶变换的分辨率会变窄，但频域中每赫兹的预期信号功率与该频率在时域中的预期信号功率保持一致。

在推导频谱密度时，假设时间波形(x(t))在区间(t = -T/2)到(+T/2)上有值，其他区间为零。利用(\pm T/2)的积分区间进行傅里叶变换，频谱密度定义如下：
[ + T / 2 ]
[ (6.0.1) ]
[ -T/2 ]

若傅里叶变换(X(u))定义在区间(-T)到(+T)上，频谱密度(S_x(\omega))的分母中需要一个因子(2T)（而不是(T)）。

帕塞瓦尔定理是推导频谱密度的一个很好的起点，对于两个可进行傅里叶变换的时间函数(g(t))和(f(t))，分别变换为(G(\omega))和(F(\omega))，有：
[ F(\omega)G(-\omega)d\omega = ]
[ (6.0.2) ]

使用物理频率(f)（单位：赫兹）而非弧度频率(\omega)（单位：弧度每秒）会更便于比较模拟和数字域中的频谱密度，因为两者仅相差一个(1/2\pi)的因子。对于在(-T/2 < t < T/2)区间非零的实信号(s(t))，有：
[ (6.0.3) ]

将式((6.0.3))除以(T)并取(T)趋于无穷大的极限，可得到时域和频域中预期均方信号（即信号功率）的方程：
[ i T/2 ]