14、线性规划：从理论到实践的全面解析

线性规划：从理论到实践的全面解析

线性规划在商业和经济领域有着广泛的应用，它能够帮助我们解决各种实际问题。本文将深入探讨线性规划的相关方法和应用，包括整数规划、决策问题、旅行商问题以及机器调度问题等。

1. 整数规划与分支定界法

在许多实际问题中，我们需要变量取整数值，这就涉及到整数规划。当使用单纯形法求解连续问题得到的解不是整数时，就需要采用分支定界法来找到整数解。

分支定界法的基本步骤如下：
- 首先，使用单纯形法求解对应的连续问题。
- 如果得到的是全整数解，那么问题解决。
- 如果最优解中存在非整数变量，选择一个这样的变量进行分支。通过添加约束条件，将可行区域划分为两个子区域，形成两个新的问题。
- 重复上述过程，直到某个分支无法继续推进，或者进一步推进不会改善现有解。

以整数服装问题为例：
- 目标函数：(max z = 500x_1 + 400x_2)
- 约束条件：
- (8x_1 + 5x_2 ≤ 42)
- (3x_1 + 16x_2 ≤ 60)
- (x_1, x_2 ≥ 0)，且(x_1, x_2)为整数

求解过程如下：
- 求解连续问题（问题(1)），得到(x_1 = 3.3)，(x_2 = 3.1)。
- 对(x_1)进行分支，形成两个子问题：
- 问题(1.1)：添加约束(x_1 ≤ 3)
- 问题(1.2)：添加约束(x_1 ≥ 4)

求解问题(1.1)，得到(x_1 = 3)，(x_2 = 3.19)，不是整数解，继续对(x_2)分支，形成问题(1.1.1)和(