数字信号处理：离散信号、滤波器与Z变换-优快云博客

填空题

广义上讲，信号可分为模拟和离散信号

离散信号用数字信号处理器进行处理，并利用重建（或恢复）运算将这些处理过的信号转换为模拟信号（称为数字-模拟转换，DAC）

DFT运算所得到的是一个循环卷积，而不是我们想要的线性卷积

在数字信号处理中有两类重要系统，其中第一类是时域完成信号过滤（数字滤波器），第二类是给出在频域的信号解释（频谱分析器）

技术要求都是在频域通过这个滤波器的期望幅度和相位响应给出的

IIR滤波器设计的基本方法是利用复值映射将大家熟知的模拟滤波器变换为数字滤波器。

在IIR滤波器的相位特性上没有一点控制能力，因此IIR滤波器设计将仅作为幅度设计来对待

椭圆滤波器在幅度平方响应上提供了最优的性能，但是在通带内具有高的非线性相位响应

DSP分为两类任务：信号分析任务和信号过滤任务。

离散系统广义地分为线性系统和非线性系统。

利用采样和量化运算把模拟信号转换为离散信号（即模拟-数字转换或ADC）。

对于模拟带限信号的2F0的采样率称为奈奎斯特率。

函数|Z|=1（或Z=ejw）是在 Z平面内半径为1的圆称为单位圆

一般来说，循环卷积是线性卷积混叠的结果。

为了处理信号，必须要设计和实现称之为滤波器的各种系统。

幅度要求常用两种方式：绝对（指标）要求和相对（指标）要求。

IIR滤波器A/D变换的优势在于各种模拟滤波器设计（AFD）表格和映射在文献中普遍都能获得。

总是要将Ha（s）表示为一个因果和稳定的滤波器，那么Ha（s）的全部极点都必须位于s平面的左半平面。

两个序列的相似度可以计算（互相关）来测量。

在线性系统中一个输入-输出对对于时间上的偏移n是不变，则该线性系统称为（线性时不变系统）。

当系统是线性时不变系统时，仅有一种表示方式表现为最有用的。它是基于（复指数）信号集{ejwt}，并称为（离散时间傅里叶变换）。

使用（重构）过程可以把数字信号转化为模拟信号，数字－到－模拟转换，或者称为ＤＡＣ

对于正-时间序列（n<n0,x(n)=0）假如n0>=0,x(n)是（负时间序列）。

冲击响应的DTFT称为LTI系统的频率响应或传递函数，表示为H

已知使用wavwrite函数可以将离散的数据写成wav格式的音频文件，若序列h(n)以采样评率为fs写入，生成的音频文件长度28秒，若将h(n) 以采样频率为fs/8 写入，则生成的音频文件长度224秒

w称为正弦序列的数字域频率，单位是弧度，表示序列变化的速率，或者说相邻两个序列值之间变化的弧度数

X（z）存在的z值的集合称为收敛域ROC

设 X1(z) = 2 + 3z ^－１　＋4 z ^-2 和 X2（z）= 4 + 4 z^-1 ＋5z^-2+6z^-3 ,则X1（z） * X2(z)=

{8,20,38,43,38,24}

对于正－时间序列（ｎ＜ｎ０　，ｘ（ｎ）＝０）假如ｎ０＞＝０，ｘ（ｎ）是　因果序列

选择题

关于脉冲响应不变映射，我们应该想到模拟频率响应的某些混叠结果

1、已下哪个不是线性时不变系统（ D ）

A. y(n)=ax(n)+b B. y(n-k)=ax(n-k)+b

C. T[(x(n-k)]=ax(n-k)+b D. y(n-k)=(n-k)x(n-k)

析：系数一定是常数

2.下列关于Z变换ROC不对的是（A）

A.正时间序列的ROC是在圆内，极点在ROC的外部

B.负时间序列的ROC是在圆内，极点在ROC的外部

C.双边序列的ROC是在圆环内或者不存在

D.因果稳定系统的ROC是在包含单位圆的圆外部,

下列关于Z变换收敛域ROC的描述，错误的是（ D ）

A. 因为收敛条件是由幅度|Z|决定，因此收敛域ROC总是被某个圆所界定

B. 对于右边序列[n<n0时，x(n=0)]，其收敛域ROC总是位于半径为Rx-的圆外（如果

n0>0，那么这个右边序列[x(n)]也称因果序列）

C. 对于左边序列[n<n0时，x(n=0)]，其收敛域ROC总是位于半径为Rx-的圆内（如果

n0>0，那么这个右边序列[x(n)]也称反因果序列）

D. 对双边序列若存在收敛域ROC，那么它总是位于一个Rx-<|z|<Rx+的圆环外

析：位于圆环内

3.X(n)=δ(n)，进行N个点的DFT变为[X(n)]=X(k)后，X(5)=(B )

A. N B. 1 C. 0 D. -N

连续信号在（A）上的Z变换和理想信号的傅里叶变换相等
A单位圆 B. 实轴 C. 正虚轴 D. 负虚轴

5. 下面的过滤器结构，哪个不是IIR滤波器的基本结构（D）

A. 直接型 B. 级联型 C. 表格型 D. 频率采样结构

6.下面的符号是基2FFT (B)流程图

A.按频率抽取

B.按时间抽取

C.都是

D.都不是

连续信号进行均匀采样，若采样频率为Ω s，其最高截止频率为Ω c，其折叠频率为（D）

A Ω s , B Ω c , C Ω c/2 D Ω s/2

连续信号在（A）上的Z变换和理想信号的傅里叶变换相等

A 单位圆 B. 实轴 C. 正虚轴 D. 负虚轴

X(n)=δ(n)，进行N个点的DFT变为[X(n)]=X(k)后，X(5)=(B )

A. N B. 1 C. 0 D. -N

一个N点序列的DFT计算得数量取决于（B）

A N B. N² C. N³ D. Nlog2N

7. 下面的过滤器结构，哪个不是IIR滤波器的基本结构（D）

A. 直接型 B. 级联型 C. 表格型 D. 频率采样结构

下面（C）结构不能用来实现IIR滤波器直级并I
A 直接型 B)级联型 C)线性相位型 D)并联型

下面（D）结构不能用来实现FIR滤波器直级线频F

A)直接型 B)级联型 C)线性相位型 D)并联型

LTI系统的表示，不包括（D）。

A)h(n) B)差分方程 C)传输函数（H(ejw)） D)有理函数

滤波器是LTI系统，以下（D）部件不能用来描述数字滤波器。

A 加法器 B)乘法器 C)延时单元 D)累加器

（C）不是滤波器的基本单位

A 加法器 B 乘法器　Ｃ　转置器　Ｄ　延迟单元

差分方程的解的稳态部分是由（Ｄ）决定的

Ａ单位圆外点的极点　Ｂ　系统极点　Ｃ输入极点　Ｄ　单位圆上的极点

由傅里叶分析可知，周期函数能用复指数的（Ｂ）合成

Ａ　移位　Ｂ乘法　Ｃ　对称性　Ｄ　线性组合

判断题

在MATLAB中，x（n）的正确表示要求有两个向量；一个对x，一个对n。 T

样本乘积运算（sample products operation）是不同于信号相乘运算（signal multiplication）的，它（样本乘积）是将n1和n2之间的全部样本值连乘起来。F

离散时间LTI系统也称为数字滤波器。 T

卷积表示是基于任何信号都能表示为加权和移位的单位样本的线性组合。 T

ROC是一个鉴别特征，以保证Z变换的唯一性，因此在系统分析中，收敛域（ROC）起着很重要的作用。 T

离散时间傅里叶变换（DTFT）存在的条件：序列x（n）是绝对可加的。 T

当且仅当系统函数H（z）的全部极点位于单位圆内时，一因果LTI系统是稳定的。F

DFT就是任意有限长序列的最终数值可计算的傅里叶变换。F

如果将x1（n）和x2（n）通过补上适当个数的零值而成为N=（N1+N2-1）点序列，那么循环卷积就与线性卷积一致。 T

对于许多应用来说，似乎哈明（Hamming）窗是最佳的选择。 F

离散时间傅里叶变换X可能被视为一个特殊情况下的Z变换X（Z) T

样本累加是有别于信号相加运算的，样本累加是将n1和n2之间的全部样本值加起来。√

圆周卷积通常是线性卷积的混叠版本。（√）

DFT的X（k）具有隐含周期性。（√）

互关联可以用于如雷达信号处理方面的应用来识别和定位目标。（√）

假如ROC包含单位圆，那么我们可以在单位圆上评估X(z)。（√）

ROC总能由一个圆来确定边界。（√）

当且仅当单位圆在H(z)的ROC内，LTI系统是稳定的。（√）

对于有限长序列，conv函数能用matlab直接计算卷积、相关和差分方程（如果任意序列是无限长的，那么不能直接用matlab来计算）√

对于LTI的因果性要求脉冲响应h(n)=0,n<0 √

DTFT不是线性变换。（×）

由于X(z)在ROC中的一致收敛，ROC包括极点。（×）

DTFT为绝对可和序列提供频率域（z）表示。（×）

在DTFT性质中，在时域的移位对应于频域的相移Ｔ

一个ＬＴＩ系统可以通过脉冲响应ｈ（ｎ）来完全特征化　T

任何信号均由可伸缩的延迟的单位样本序列的线性组合来表示Ｔ

加入ＲＯＣ包括单位圆，那么可以在单位圆上评估Ｘ（ｚ）Ｔ

ROC是保证Z变换的唯一性的区分特征　T

由于X(Z) 在ROC中的一致性收敛，ROC不包括极点Ｔ

当且仅当单位圆在Ｈ（ｚ）的ＲＯＣ内，ＬＴＩ系统是稳定的

ＤＴＦＴ　为绝对可和序列提供频率域（ｚ）表示

巴特利特窗是迅速过度的三角窗　T

问答题

一个任意无限长序列是否能用MATLAB表示？

答：由于有限的存储空间限制，一任意无限长序列不能用MATLAB表示。

为什么要推广Z变换？

答：①：在实际中有许多有用的信号，如u（n）和nu（n），他们的离散时间傅里叶变换都不存在，而其可在Z变换中表示；②：一个系统由于初始条件或者由于变化输入所引起的暂态响应不能利用离散时间傅里叶变换方法计算出，而Z变换则能用于在初始条件或变化输入下求得系统响应。

DTFT，DFT和FFT三者的区别？

答：DTFT在时域上是离散的，但在频域上是连续的；

DFT在时域和频域都是离散的；

FFT是计算DFT的高效算法。

4、讨论FIR数字滤波器在实现和设计方面的优势？

答：① 相位响应可以是真正线性的；

② 由于不存在稳定性问题，所以设计相对容易；

③ 在实现上是高效的；

④ 在实现中是可以DFT。

5、FIR与IIR滤波器的比较？

答：① 在FIR滤波器情况下，这些最优滤波器都是经由Parks-McClellan算法设计的

的等滤波器，而在IIR滤波器情况下，这些都是椭圆滤波器；

② 对于FIR滤波器来说，标准实现就是线性相位直接型，而对IIR椭圆滤波器

来说，广泛采用级联型；

③ 通过每个输出样本需要的乘法次数来比较；

④ 对于大多数场合而言，从计算量的观点来看IIR椭圆滤波器是乐于接受的；

⑤ 如果考虑相位均衡器，那么FIR等波纹滤波器设计由于它们具有真正的线性

相位特性而认为是最适合的。

用给定的规格：Ωp，Ωs，Rp，As设计一个数字高通IIR滤波器，写出其基本步骤

1，读入数字滤波器技术指标Ωp，Ωs，Rp，As，

2,将指标转换成归一化模拟低通滤波器的指标

3，设计归一化的模拟低通滤波器阶数N和3db截止频率

4，模拟域频率变换，将G（p）变换成模拟高通H(S)

5,用双线性变换将H(S)转换成高通数字滤波器H(Z).

DTFT有什么缺点？如何解决

ＤＴＦＴ（离散时间傅里叶变换）是无限周期的，对于有限长度的信号求频率点的无限和会很麻烦，它的条件是绝对可和，如果系统的初始条件或输入状态的改变而引起的响应，不能用DTFT计算。

解决方法：用ｚ变换或者　离散傅里叶变换（DFT）和快速傅里叶变换（FFT)

DTFT（离散时间傅里叶变换）作为一种频域分析方法，具有以下一些缺点：

时域无限长信号：DTFT是将离散时间信号作为无限长时间序列来处理的，这意味着对于有限长度的信号，DTFT会产生无限多个频率成分。这在实际应用中可能不太符合需求。

连续频率表示：DTFT将频域表示为连续的频率变量，这使得对于具有有限离散频谱的信号，频域分辨率较低。同时，在计算和存储上也可能需要更多资源。

非实时性：DTFT需要对整个信号进行计算，对于实时处理的应用来说，这会导致延迟。

为了解决这些问题，人们开发了一些改进的变换方法，如离散傅里叶变换（DFT）和快速傅里叶变换（FFT）。

DFT是DTFT的一种离散近似，它通过对有限长度的信号进行周期延拓，并将信号离散化来提高计算效率。DFT具有离散频谱表示和更高的频域分辨率，适用于有限长度信号的频谱分析。

FFT是一种高效计算DFT的算法，通过利用信号长度的2的幂次结构，显著降低了计算复杂度。FFT广泛应用于频谱分析、滤波、信号压缩等领域，可以在实时处理中快速计算频域表示。

总的来说，DFT和FFT是DTFT的改进方法，解决了其缺点，提供了更好的计算效率和频域分析能力。