9、数值积分方法详解

数值积分方法详解

1. 引言

在数学和实际问题中，计算定积分是一个常见的需求。有时候，我们可以使用标准公式来解析地计算定积分。例如，对于(\int_{a}^{b} x^k dx)，其结果为(\frac{1}{k + 1}(b^{k + 1} - a^{k + 1}))，像(\int_{0}^{1} x dx = \frac{1}{2})。此外，还有一些标准的积分技巧，如分部积分法(\int_{a}^{b} u(x)\frac{dv(x)}{dx} dx = [u(x)v(x)] {a}^{b} - \int {a}^{b} v(x)\frac{du(x)}{dx} dx)，可以用来计算(\int_{0}^{1} x e^x dx = 1)。

然而，在实际问题中，很多被积函数没有已知的解析形式，比如(\int e^{-t^2} dt)；或者将被积函数化为标准形式需要耗费大量精力，此时数值近似方法可能更实用。还有些问题中，被积函数的值只在一些离散点上已知。接下来，我们将探讨处理这些问题的方法，主要包括牛顿 - 柯特斯规则（如梯形法则、辛普森法则等），以及高斯求积法和自适应求积法。

2. 列表函数的积分

为了说明处理仅在一些点上有值的函数的积分方法，我们来看一个造船公司的问题。

2.1 问题描述

一家造船公司要建造一艘船，船的成本与甲板的表面积有关。甲板关于从船头到船尾的中心线对称，所以只需计算一半甲板的面积再乘以 2 即可。船身长 235 米，表 1 给出了沿中心线不同网格点处的半宽度（从甲板中间到边缘的距离），网格点间隔为 23.5 米。我们的任务是求出甲板的表面积。