7、曲线拟合：从线性到多项式的近似之旅

曲线拟合：从线性到多项式的近似之旅

在数据分析和数学建模中，曲线拟合是一项至关重要的技术，它能帮助我们找到一个连续函数来代表给定的数据点。通过这种方式，我们可以对未测量的数据进行估计，揭示数据背后潜在的函数关系。下面，我们将深入探讨曲线拟合的相关方法，包括线性插值和多项式插值。

1. 曲线拟合概述

曲线拟合的核心目标是构建一个连续函数，使其能够尽可能准确地代表给定的数据。在实际应用中，选择合适的函数形式是关键。例如，线性函数在测量温度时可能非常适用，但在处理气体体积与压力的关系时，多项式函数往往是更好的选择。需要注意的是，高次多项式并不一定能提供比低次多项式更好的近似，有时甚至可能适得其反。不过，我们可以通过分段组合多项式的方式，形成所谓的样条函数，以获得更好的近似效果。

2. 线性插值

线性插值是一种简单而直观的曲线拟合方法，它使用直线来近似数据。下面我们通过两个具体的例子来详细说明。

2.1 温度测量示例

使用非数字汞温度计测量液体温度时，汞柱的长度通常会落在两个校准点之间。我们可以通过以下步骤来估计温度：
1. 估算汞柱在较低校准点上方的长度占两个校准点之间距离的比例。
2. 将较低校准点的温度值加上该比例乘以两个校准点之间的温度间隔（10°）。

从图形上看，我们可以在 x-y 图中绘制汞柱长度与温度的关系。在 0° 到 100° 以 10° 为间隔的校准点上，标记出已知的汞柱长度。假设温度计的汞柱横截面积在整个刻度范围内保持恒定，那么汞柱长度与温度之间的关系应该是线性的，我们可以绘制一条直线连接这些点。对于任何已知的汞柱长度，我们可以从 y 轴上的相应点画一条水平线