35、自适应平滑与分割的变分方法

自适应平滑与分割的变分方法

1. 引言

变分技术可用于二维和三维图像、向量值图像以及图像序列的自适应处理，以实现非线性平滑、分割、提取局部图像结构（如均匀区域、边缘、特征点）、噪声抑制和恢复，以及计算光流。对于每类图像数据，变分技术的处理包含以下方面：
- 变分方法的描述
- 方法的一致离散化
- 迭代求解非线性方程组的方案
- 展示应用范围的计算示例

变分技术在自适应图像处理设计中，有以下重要问题：
- 数据缩减 ：自适应抑制图像细节，如平滑小信号变化，保留粗信号结构。
- 图像分割 ：将图像域划分为有显著信号变化的位置和均匀区域，同时定位信号变化并保留区域的鲁棒对比度信息。
- 分割最优性 ：在“局部信号变化强度”和“均匀性”的度量方面实现分割的最优性。
- 离散化与一致性 ：近似问题的表述应在越来越精细的离散化极限下保留“函数的等值线”或“旋转不变性”等概念和属性。
- 计算架构与并行性 ：结果的计算需考虑多个数据点的局部上下文，且所有方法可在具有最近邻通信的细粒度并行架构上实现。

一般来说，变分方法通过将输入数据 $g \in S_1$ 和处理后的数据 $v_g \in S_2$ 视为定义在给定图像域 $A$ 上的函数空间 $S_1$、$S_2$ 的元素，并将 $v_g$ 定义为最小化问题的解：
$v_g = \arg \min_{v \in S_2} J(v)$，$J(v) = \in