36、变分自适应平滑与分割及形态学算子解析

变分自适应平滑与分割及形态学算子解析

变分自适应平滑与分割

在图像的处理中，变分自适应平滑与分割有着重要的作用。

矢量值图像的处理

将变分方法扩展到矢量值图像的处理中，对于彩色图像等的处理有着重要意义。设矢量值图像为 (g : x ∈A ⊂R^d →R^n) ，例如对于彩色图像 (d = 2) 且 (n = 3) 。对于矢量值函数 (v) 的梯度，使用符号 (Dv := [∇v_1, . . . , ∇v_n]) ，其对应的内积和范数分别为 ((Du, Dv) = trace(Du^T Dv)) ，(|Dv| = (Dv, Dv)^{1/2}) 。

变分方法类比于之前的公式，可表示为：
(J(v) = \frac{1}{2} \int_A [|v - g|^2 + λ(|Dv|)] dx)

计算一阶变分后，能得到形如之前的变分方程，对于由特定公式定义的 (λ) ，可唯一确定泛函的全局极小值 (v_g) 。

在彩色图像的数值示例中，通过计算不同尺度下的极小值，可以看到图像结构的保留以及均匀区域的形成。例如图中展示了彩色图像 (g) 以及在小尺度（(λ_h = 2) ）和大尺度（(λ_h = 9) ）下计算得到的极小值 (v_g) ，图像结构的保留和均匀区域的形成清晰可见。

参数	含义
(g)	矢量值图像
(v)