22、多网格表示与邻域算子技术解析

多网格表示与邻域算子技术解析

1. 离散尺度空间的迭代计算

在计算离散尺度空间时，存在如下迭代方案：
- 连续形式：$g(x, ξ + ∆ξ) = ∆ξg(x + ∆x, ξ) + (1 - 2∆ξ)g(x, ξ) + ∆ξg(x - ∆x, ξ)$
- 离散坐标形式：$g_{n,ξ + 1} = ∆ξg_{n + 1,ξ} + (1 - 2∆ξ)g_{n,ξ} + ∆ξg_{n - 1,ξ}$

当且仅当$∆ξ ≤ \frac{1}{4}$时，该迭代能得到满足最小 - 最大原则和半群性质的离散尺度空间。当$∆ξ = \frac{1}{4}$时，迭代形式变得尤为简单：$g_{n,ξ + 1} = \frac{1}{4}g_{n + 1,ξ} + \frac{1}{2}g_{n,ξ} + \frac{1}{4}g_{n - 1,ξ}$ 。每一步尺度空间的计算都通过具有二项式掩码$B_2 = [\frac{1}{4} \frac{1}{2} \frac{1}{4}]$的信号平滑来实现。

一般尺度空间生成算子可以用卷积算子$B$表示为$(1 - ϵ)I + ϵB_2$，其中$ϵ ≤ 1$，$I$为单位算子。这个表达式意义重大，可通过将$B_2$替换为相应的高维平滑算子直接扩展到更高维度。

2. 多网格表示基础

传统尺度空间存在显著缺点，额外的尺度参数增加了图像维度，导致数据存储需求和计算开销大幅增加。因此，更高效的多尺度存储方案，尤其是金字塔结构，在图像处理中得到广泛应用。

多分辨率表示的基本思想是：精细尺度的表示需要全分辨率，而较粗尺度可以用较低分辨率表示。随着尺度参数增加，图像尺寸逐渐变小，从而在空间