23、邻域算子：线性移不变滤波器与递归滤波器详解

邻域算子：线性移不变滤波器与递归滤波器详解

1. 线性移不变滤波器

1.1 线性性质

线性算子由叠加原理定义。设 (a) 和 (b) 为两个复数值标量，(H) 是将一个图像映射到相同维度的另一个图像的算子，当且仅当满足 (H (a : +b :) = aH : +bH :) 时，该算子是线性的。这一性质可以推广到多个输入的叠加情况，即 (H\left(\sum_{k}a_{k}:\right)=\sum_{k}a_{k}H:)。

线性算子的叠加性质使其非常实用。我们可以将复杂图像分解为更简单的组件，轻松推导出算子对这些组件的响应，然后将组件的响应组合起来得到最终响应。例如，将图像分解为单个像素是一种特别有用的方法。

1.2 移不变性与卷积

算子的另一个重要性质是移不变性或均匀性，意味着算子的响应不明确依赖于位置。如果我们移动一个信号，输出图像除了应用的移动外是相同的。我们可以用移位算子 (S) 更优雅地表述这一性质，对于二维图像，移位算子定义为 (mnSG_{m′n′} = G_{m′−m,n′−n})。

一个算子是移不变的，当且仅当它与移位算子可交换，即 (H S = SH)。需要注意的是，移位算子 (S) 本身就是移不变算子。同时具有线性和移不变性的算子被称为线性移不变算子（LSI 算子），对于时间序列，这类重要的算子也被称为线性时不变（LTI）算子。

可以证明，线性移不变算子在空间域中必然是卷积运算，不存在其他同时具有线性和移不变性的算子类型。因此，线性移不变邻域算子具有卷积的所有有用特性，如交换性、结合性和对加法的分配性，这些性质对于高效设计滤波操作非常有用。

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