32、亚扩散限制反应中的目标、捕获问题及基本反应分析

亚扩散限制反应中的目标、捕获问题及基本反应分析

1. 反应融入亚扩散模型的挑战

在处理亚扩散模型中的反应问题时，目前还没有清晰的方法。在传统的反应 - 扩散问题中，人们习惯在扩散或随机游走方程中简单添加局部质量作用定律（乘积）反应项，例如对于正常扩散系统中的双分子反应 (A + B → C)，(A) 粒子的局部浓度 (a(x, t)) 的平均场方程可写为：
(\frac{\partial}{\partial t} a(x, t) = D \frac{\partial^2}{\partial x^2} a(x, t) - k a(x, t) b(x, t))

然而，当反应物的运动为亚扩散时，这种简单的添加方式并不一定正确。不过，有一些精确结果和近似结果为反应 - 亚扩散过程的建模提供了更合适的方法。

2. 目标问题和捕获问题

目标问题和捕获问题是扩散限制反应更广泛理论的两个经典反应 - 扩散场景。
- 目标问题 ：静态粒子 (A) 被移动陷阱 (B) 包围。当陷阱在晶格上进行扩散或亚扩散运动时，粒子 (A) 的生存概率 (P(t)) 为：
(P(t) = \exp[-cS(t)])
其中 (c) 是陷阱的浓度，(S(t)) 是随机游走者在时间 (t) 内访问的不同位置的平均数量。
- 正常扩散情况 ：对于大 (t)，不同维度下 (S(t)) 的表达式如下：
| 维度 (d) | (S(t)) 表达式 |
| ---- | ---- |
| (d = 1) | (\frac{9}{8} \pi t^{1/2