23、邻域算子：线性移不变滤波器与递归滤波器详解

邻域算子：线性移不变滤波器与递归滤波器详解

1. 线性移不变滤波器

1.1 线性性质

线性算子由叠加原理定义。若(a)和(b)是两个复数值标量，(H)是将一幅图像映射到相同维度另一幅图像的算子，当且仅当满足(H (a : +b :) = aH : +bH :)时，该算子是线性的。此性质可推广到多个输入的叠加，即(H \left(\sum_{k} a_{k} :\right)=\sum_{k} a_{k}H :)。叠加性质使线性算子非常实用，可将复杂图像分解为简单组件，先得出算子对各组件的响应，再组合这些响应得到最终结果。将图像分解为单个像素是一种特别有用的方法。

1.2 移不变性与卷积

算子的另一个重要性质是移不变性或均匀性，意味着算子的响应不明确依赖于位置。若移动信号，输出图像除了移动外保持不变。可以用移位算子(S)更优雅地表述这一性质，对于二维图像，移位算子定义为( {mn}S {G_{m’n’}} = G_{m’-m,n’-n})。一个算子是移不变的，当且仅当它与移位算子可交换，即(H S = SH)。移位算子(S)本身就是移不变算子。既是线性又是移不变的算子称为线性移不变算子（LSI 算子），对于时间序列，这类算子也称为线性时不变（LTI）算子。可以证明，线性移不变算子在空间域必然是卷积运算，不存在其他既是线性又是移不变的算子类型。因此，线性移不变邻域算子具有卷积的所有有用特性，如交换律、结合律和对加法的分配律，这些性质对高效设计滤波操作非常有用。

1.3 点扩散函数

LSI 滤波器在空间域可表示为卷积运算。在二维中，图像(G)与表示 LSI 算子的另一图像(H)进行卷积：