28、复杂系统中的异常弛豫：从拉伸指数到压缩指数

复杂系统中的异常弛豫：从拉伸指数到压缩指数

在复杂系统的研究中，弛豫现象是一个关键的研究领域。拉伸指数弛豫和压缩指数弛豫是其中两种重要的弛豫类型。下面我们将深入探讨这两种弛豫的相关模型和特性。

拉伸指数弛豫

在前面所考虑的模型中，弛豫的拉伸通常与（亚）扩散实体相关，但并非总是如此。在某些情况下，存在弛豫现象却没有输运过程。

假设物理过程由两能级系统、转子或偶极子控制，它们在空间中并不移动，但受到随机场的影响，使得局部弛豫时间 $\tau$ 也呈现出随机性。更确切地说，存在一系列独立的指数弛豫过程，其弛豫时间的密度为 $\rho(\tau)$，并且每个基本弛豫过程对关联函数的贡献相同，因此关联函数 $C(t)$ 可以表示为：
[C(t) = \int_{0}^{\infty} \rho(\tau) e^{-t / \tau} d\tau]

若得到的关联函数 $C(t)$ 可以很好地用拉伸指数来拟合，即：
[C(t) \approx \exp[-( \gamma t)^{\beta}]]
那么我们能对弛豫时间密度 $\rho(\tau)$ 的形状做出哪些推断呢？

在极短时间后，关联函数从初始值 1 下降的量 $\Delta C \sim \int_{0}^{t} \rho(\tau) d\tau$。这意味着所有大于 $t$ 的弛豫时间还未来得及弛豫，而所有小于 $t$ 的弛豫时间已经完成弛豫。将这个结果与拉伸指数的初始衰减相比较，可以得到：
[\int_{0}^{t} \rho(\tau) d\tau \approx (\gamma t)^{\beta} \Rightarrow \rho(\tau) \p