14、随机过程中的Lévy飞行与分数阶扩散模型

随机过程中的Lévy飞行与分数阶扩散模型

1. Lévy飞行简介

Lévy飞行是描述异常随机过程的常用工具。从数学定义上看，Lévy飞行具有马尔可夫性，其统计极限分布由独立同分布的随机变量根据广义中心极限定理得出。然而，尽管它广受欢迎且有较长的研究历史，但仍未被完全理解。例如，在非平凡边界条件下的正确表述、在无限高和有限外部势中的行为以及其热力学意义等方面，都还在研究之中。

1.1 幂律截断Lévy飞行

幂律截断（PLT）Lévy飞行具有独特的时间演化特性。在小时间尺度下，方程（5.54）的解表现出特定的渐近行为，如与 (x^{-2}) 和 (x^{-4}) 相关的渐近线；在大时间尺度下，解趋近于高斯分布，同时也存在 (x^{-4}) 的渐近线。其分布函数 (1 - F(x) = \int_{x}^{\infty} f(y) dy) 在中间部分呈现幂律行为 (1 - F(x) \propto x^{-\alpha})（(\alpha = 1.7)），重尾部分则以幂律 (1 - F(x) \propto x^{-\beta})（(\beta \approx 3)）衰减。我们的方程能很好地描述这种情况，得出 (\beta = 3.3)。

幂律截断Lévy飞行还有一个有趣的性质，它可以被看作是在由截断单边（极端）Lévy指数为 (\alpha/2) 的定律给出的操作时间下，从属于维纳过程的过程。这种从属性质也为经济过程中截断Lévy分布的可能本质提供了线索。截断Lévy过程可以被解释为具有有限方差的简单随机游走，但单位时间内随机游走的步数（交易次数）不是固定的，而是有很大的波动。

2. 分数阶扩散模型

在标准扩散范式中