4、分数阶导数的全面介绍

分数阶导数的全面介绍

1. 分数阶导数的历史定义

1.1 Liouville定义

Liouville使用以下公式定义分数阶导数：
对于表示为指数和的函数 (f(x) \sim \sum_{k} c_{k} \exp(\lambda_{k}x))，其分数阶导数为
(\frac{d^{\alpha} f}{dx^{\alpha}} = \sum_{k} c_{k} \lambda_{k}^{\alpha} e^{\lambda_{k}x})
他还推导出了分数阶积分公式：
当 (\alpha > 0) 时，分数阶积分 (\int^{\alpha} f(x) dx^{\alpha} = \frac{1}{(-1)^{\alpha}\Gamma(\alpha)} \int_{0}^{\infty} f(x + y)y^{\alpha - 1} dy)
对于分数阶微分，当 (n - 1 < \alpha < n) 时，(\frac{d^{\alpha} f}{dx^{\alpha}} = \frac{1}{(-1)^{n - \alpha}\Gamma(n - \alpha)} \int_{0}^{\infty} \frac{d^{n} f(x + y)}{dx^{n}} y^{n - \alpha - 1} dy)
Liouville将系数 (\lambda_{k}^{\alpha}) 展开为二项式级数：
当 (\lambda_{k} > 0) 时，(\lambda_{k}^{\alpha} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h^{\alpha}} (1 - e^{-h\lambda_{k}})