5、分数阶导数的全面介绍

分数阶导数的全面介绍

分数阶导数在数学和物理学领域正逐渐展现出其重要性。本文将深入探讨分数阶导数的特征函数、物理应用以及如何从具体模型中确定分数阶参数α等内容。

1. 分数阶导数的特征函数

分数阶导数的特征函数是分数阶微分方程的解。对于Riemann - Liouville分数阶导数，其特征函数由以下方程定义：
(( D^{\alpha} {0+} f)(x) = \lambda f(x))，其中λ是特征值。其解为(f(x) = x^{1 - \alpha}E {\alpha,\alpha}(\lambda x^{\alpha}))，这里(E_{\alpha,\beta} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{x^k}{\Gamma(\alpha k + \beta)})是广义Mittag - Leffler函数。

更一般地，对于α阶和β型的分数阶导数，特征值方程为(( D^{\alpha,\beta} {0+} f)(x) = \lambda f(x))，其解为(f (x) = x^{(1 - \beta)(1 - \alpha)}E {\alpha,\alpha + \beta(1 - \alpha)}(\lambda x^{\alpha}))。当β = 0时，对应上述Riemann - Liouville分数阶导数的情况。另一个重要的特殊情况是(( D^{\alpha,1} {0+} f)(x) = \lambda f(x))，此时特征函数为(f(x) = E {\alpha}(\lambda x^{\alpha}))，其中(E_{\alpha}(x) = E_{\alpha,1}(x)