4、状态反馈控制器与线性二次型调节器设计详解

状态反馈控制器与线性二次型调节器设计详解

1 极点配置控制器设计

1.1 状态反馈控制律与特征多项式

在状态反馈控制器设计中，若将期望的闭环特征值设定为特征多项式 (A_{cl}(s) d = s^n + \alpha {n - 1}s^{n - 1} + \alpha_{n - 2}s^{n - 2} + \cdots + \alpha_1s + \alpha_0 = 0) 的解，那么状态反馈控制律 (u(t) = -Kx(t)) 能将闭环系统矩阵 (A - BK) 的特征值置于期望位置。其中，
(K = \begin{bmatrix}
k_1 \
k_2 \
k_3 \
\cdots \
k_{n - 1} \
k_n
\end{bmatrix})
且 (k_i = \alpha_{i - 1} - a_{i - 1})（(i = 1, 2, \cdots, n)）。

1.2 控制器设计的相似变换

对于单输入系统，假设状态空间模型是可控的，可控性矩阵 (L_c) 可逆。可以通过相似变换将状态空间模型转换为控制器规范型。

设状态空间模型为 (\dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t))，选择新的状态向量 (z(t)) 使得 (x(t) = Tz(t))，其中 (T) 是相似变换矩阵且 (T^{-1}) 存在。则以 (z(t)) 表示的状态空间模型为：
(T\dot{z}(t) = ATz(t) + Bu(t))
两边左乘 (T^{-1}) 可得：
(\dot{z}(t) = T^{