16、不规则域中的热核平滑技术详解

不规则域中的热核平滑技术详解

1. 热核的定义与性质

热核 $K_{\sigma}(p, q)$ 定义为：
$K_{\sigma}(p, q) = \sum_{j=0}^{\infty} e^{-\lambda_j\sigma}\psi_j(p)\psi_j(q)$
其中，$\sigma$ 是核的带宽。热核是各向同性热扩散的基本解。

1.1 对称核的正定性

若对称核 $G(p, q)$ 定义在流形 $M$ 上，且对于所有的 $p_i, q_j \in M$ 和非零的 $c_i, c_j \in R$，满足 $\sum_{i,j=1}^{n} G(p_i, q_j)c_ic_j > 0$，则称 $G(p, q)$ 是正定的。进一步推广，如果对于任意的可积函数 $f \in L^1(M)$，有 $\int_{M} G(p, q)f(p)f(q) d\mu(p)d\mu(q) > 0$，则称核 $G(p, q)$ 在 $M$ 上是积分正定的。对于连续核，这两个定义是等价的。

1.2 热核的概率分布性质

热核是一种概率分布，即 $\int_{M} K_{\sigma}(p, q) d\mu(p) = \int_{M} K_{\sigma}(p, q) d\mu(q) = 1$。因此，离散化的核矩阵可以看作是双随机矩阵。

1.3 不同空间上的热核

• 球面上的热核
  • 二维球面 ：热核可以用球谐函数 $Y_{lm}$ 解析表示为 $K_{\sigma}(p