27、数字曲面上的热核拉普拉斯 - 贝尔特拉米算子

数字曲面上的热核拉普拉斯 - 贝尔特拉米算子

1. 拉普拉斯 - 贝尔特拉米算子的离散化及其性质

1.1 三角网格上的预备知识和经典离散化

设 $M$ 是嵌入在 $\mathbb{R}^3$ 中的二维光滑流形，有或没有边界。内在光滑的拉普拉斯 - 贝尔特拉米算子定义为：
$$\Delta : C^2(M) \to C^2(M)$$
$$u \mapsto \text{div}(\nabla u)$$
其中 $C^2$ 是二阶可微且二阶导数连续的函数集。

设 $\Gamma$ 是一个组合结构（例如三角网格），$V(\Gamma)$ 是其顶点集，$F(\Gamma)$ 是其面集。设 $u : M \to \mathbb{R}$ 是一个二阶可微函数，且假设 $V(\Gamma)$ 是 $M$ 的一个采样，即 $V(\Gamma) \subset M$。

• 图拉普拉斯算子（组合拉普拉斯算子） ：
  一种简单的离散化仅考虑 $\Gamma$ 的组合结构，这种拉普拉斯算子称为图拉普拉斯算子或组合拉普拉斯算子：
  $$(L_{\text{COMBI}} u)(w) := -\text{deg}(w)u(w) + \sum_{p \in \text{link}_0(w)} u(p)$$
  其中 $\text{link}_0(w)$ 是 $V(\Gamma)$ 中与 $w$ 相邻的点集，$\text{deg}(w)$ 是 $w$ 在 $\Gamma$ 中的度数。

• DEC 算子定义的拉普拉斯算子