28、扩展卡尔曼滤波器：原理、算法与应用案例

扩展卡尔曼滤波器：原理、算法与应用案例

1. 卡尔曼滤波器计算完成与测试

在卡尔曼滤波器的计算流程中，完成一个计算周期时，需保存估计的状态变量和 $P(k)^+$ 的对角元素用于性能评估，代码如下：

xhat(:,k)=x_plus;
Pk(:,k)=diag(P_plus);
end

完成上述计算后，可基于特定示例进行程序测试。

2. 多速率采样数据系统思考

这里提出两个值得思考的问题：
- 能否想到多速率采样数据系统的应用场景？
- 对于给定的状态空间模型 $x(k) = 0.6x(k -1) + 0.1u(k -1) + 𝑤(k -1); y(k) = 6x(k) + 𝑣(k)$，假设过程采样间隔 $\Delta t = 0.01$ 秒，测量采样间隔为 $10\Delta t$，多速率采样数据系统的卡尔曼滤波器关键方程是什么？

3. 扩展卡尔曼滤波器（EKF）概述

卡尔曼滤波器设计时假设为线性时变模型，但许多实际应用涉及非线性系统。扩展卡尔曼滤波器（EKF）是估计非线性系统状态的有效工具。

4. 扩展卡尔曼滤波器中的线性化

扩展卡尔曼滤波器的核心思想是对非线性系统进行线性化，下面分单变量和多变量情况进行介绍。

4.1 单变量非线性函数线性化

假设存在单变量 $x$ 的非线性函数 $f(x)$，且该函数平滑且各阶导数存在，可在 $x = x_0$ 处进行泰勒级数展开：
[f(x) = f(x