6、离散几何分布的微分同胚配准

离散几何分布的微分同胚配准

1. 引言

在离散几何分布的研究中，我们关注单个狄拉克变流形在不同初始动量下的测地线轨迹。图3展示了这些轨迹，从中我们能观察到方向动量 $p^{(2)}$ 对动力学和变形结果的影响。除了与归一化作用情况类似的旋转效应外，还会根据角度 $\langle p^{(2)}_i, d_i \rangle$ 产生局部收缩或膨胀。

2. 配准算法与实现

我们的目标是数值求解优化问题 (3.1)，采用常用的测地射击方法。从第3.4节的推导可知，对向量场 $v$ 优化 (3.1) 等价于限制在测地线上，并通过哈密顿方程对完全参数化这些测地线的初始动量变量 $p^{(1)}_0$ 和 $p^{(2)}_0$ 进行优化。

2.1 能量 $E$ 的计算

给定模板和目标离散变流形，能量 $E$ 可重写为初始动量的函数：
$E(p^{(1)} 0, p^{(2)}_0) = H_r(p_0, q_0) + \lambda |\mu^{(1)} - \tilde{\mu}|^2 {W^*} := g(q^{(1)})$
其中，$q_0$ 是初始状态，$\mu^{(1)}$ 是对应最终时间状态 $q^{(1)}$ 的变流形，$g(q^{(1)})$ 是 $\mu^{(1)}$ 与目标变流形之间的保真项，$H_r$ 是简化哈密顿量。

对于归一化情况，简化哈密顿量为：
$H_r(p, q) = \frac{1}{2} \langle K_q p, p \rangle$
其中，$K_q$ 是对称正定矩阵，定义如下：
设 $H = (H) {