5、离散几何分布的微分同胚配准

离散几何分布的微分同胚配准

1. 引言

统计形状分析是应用数学的重要领域，旨在提供定量工具分析几何结构的变异性，以进行形状比较和分类等任务。在处理几何形状数据集时，存在一些难题，其中一个基本问题是定义和计算形状空间的度量。一种常见方法是通过基于变形群的距离来比较形状，变形群配备右不变度量，并在形状集合上定义左群作用。在这个框架下，诱导距离通常通过解决配准问题来获得，即找到一个将一个对象映射到另一个对象的最优变形。

大型变形微分同胚度量映射（LDDMM）是一种常用的模型，其中微分同胚变换是由与时间相关的速度场的流生成的。然而，形状分析的另一个常见困难是形状可能具有多种形式或模态。早期的工作主要考虑医学图像或手动提取的地标所表示的形状，但随着时间的推移，几何结构的多样性大大增加，包括多模态图像、向量或张量场、方向分布函数场以及点云、曲线、表面等。

本文的目的是朝着一个可能的广义设置迈出一小步，该设置可以在一个共同的表示中包含丰富的形状类别，并最终形成一个共同的LDDMM匹配框架。我们的出发点是基于几何分布（如测度、流或变分）的曲线和表面配准的相关工作。在最近的一篇文章中，有向曲线或表面被解释为其有向切线或法向量的方向分布（称为有向变分），这导致了简单的保真项，可与LDDMM结合使用来制定和解决不精确的匹配问题。然而，到目前为止，所有这些工作都将分布的表示作用限制为配准算法中引导项的中间计算；底层的变形模型和配准问题仍然是在带有网格的点集上定义的。

本文的立场是引入群作用，并直接在几何分布空间中制定微分同胚匹配问题。在这项工作中，我们将分析限制在二维和三维对象，并专注于离散分布的更简单子空间，即可以表示为狄拉克变分质量的有限和的分布。我们将考虑不同的群作用模型，并推