【剑斩OFFER】算法的暴力美学——二维前缀和

一、题目描述

二、算法原理

一般来说我们遍历数组来进行求和，但是这种时间复杂度太高了：假设我们查找q次区域内和，最差的情况下我们要遍历完整个数组，所以我们的时间复杂度为：O（q * n * n)；

我们使用动态规划的思想来完成这道题目，就是上的图片，至于怎么把原数组变成右边的动态规划的数组一会就讲，还有他的时间复杂度也是一会讲。

我们看上面的那张图片，动态规划的数组在原数组的基础上多加一行一列（为了边界问题），这一行一列置于0，至于动态规划里面的数字是原数组区域内的和，例如动态规划里面第2行3个数字 = 

第1行的 1 + 2，示例：

那么动态规划里面：

那么怎么把原数组变成动态规划的数组呢？

假设我们要求：

等于：

假设我们要求：

等于：

这也是我们为什么要多添加一行一列的原因，不然会越界的，

总结：假设 arr 是原数组，而 new 是动态规划的数组：

假设我们要求 new（x，y）= new[ x - 1][ y ] + new[ x ][ y - 1] - new[ x - 1 ][ y - 1] + arr[ x ][ y ]

那么问题来了，为什么要搞个动态规划的数组出来呢？

先别着急，我们来看一下这个动态规划的数组怎么使用？

假设我们要求原数组这个区域的和：

等于：

总结：arr(x1 ，y1）—— arr（x2，y2）= new[ x2 ][ y2 ] - new[ x2 ][ y1 - 1 ] - new[ x1 - 1 ][ y2] + new[ x1 - 1][ y1 - 1]

时间复杂度：假设我们要查找 q 次区域内的和：O（1 * q），这就我们为什么要弄个动态规划的数组出来的原因。

三、代码实现

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main()
{

    long long  h = 0,num = 0,index = 0;//h:行数，num:每行的数字的个数，index搜索个数
    cin >> h >> num >> index;
    vector<vector<long long>> vv(h + 1,vector<long long>(num + 1));
    for(long long i = 1; i <= h; i++)
    {
        for(long long j = 1;j <= num;j++)
        {
            long long tmp;
            cin >> tmp;
            vv[i][j] = vv[i - 1][j] + vv[i][j - 1] - vv[i - 1][j - 1] + tmp;
        }
    }

    for(int i = 0; i < index;i++)
    {
        long long x1,y1,x2,y2;
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
        cout << vv[x2][y2] - vv[x2][y1 - 1] - vv[x1 - 1][y2] + vv[x1 - 1][y1 - 1] << endl;
    }



    return 0;
}