关于C++倍增算法

       

一、倍增算法核心思想

倍增算法（Binary Lifting）是一种基于二进制分解思想的预处理算法，主要用于优化树结构中的跳跃路径查询问题。其核心思想体现在两个关键阶段：

1. 预处理阶段
通过动态规划构建跳跃表（Jump Table），记录每个节点向上跳跃2^j层的祖先节点，形成二进制尺子式的快速通道。

2. 查询阶段
将目标跳跃距离分解为多个2的幂次跳跃，通过组合预存路径实现对数时间复杂度的查询。

算法优势​（对比传统O(n)遍历）：

• 查询时间复杂度：O(logn)
• 支持动态规划复用预处理结果
• 适用于多查询场景

​二进制分解的直观解释
如同用不同面值的货币组合支付任意金额，倍增算法通过2^0, 2^1,...,2^k的跳跃步长组合，可以覆盖任意距离的跳跃需求。例如跳跃5层 = 2^2 + 2^0。

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二、算法实现四步曲

步骤1：预处理表结构设计

const int MAXN = 1e5+5;       // 最大节点数
const int LOG = 17;           // log2(MAXN)的上界值

int up[MAXN][LOG];            // up[i][j]表示节点i的2^j级祖先
int depth[MAXN];              // 节点深度数组

​参数选择原则
LOG取值应满足2^(LOG) > MAXN，例如MAXN=1e5时，log2(1e5)≈16.6，取LOG=17

步骤2：初始化基础状态

void dfs(int u, int parent) {
    up[u][0] = parent;        // 直接父节点即2^0级祖先
    for(int v : tree[u]) {
        if(v != parent) {
            depth[v] = depth[u] + 1;
            dfs(v, u);       // 递归初始化子树
        }
    }
}

​初始化注意事项
根节点的up[root][0]应设为-1，需在调用dfs前进行初始化

步骤3：动态规划填充跳跃表

void preprocess(int n) {
    // 初始化无效祖先标记
    memset(up, -1, sizeof(up));
    
    // 动态规划填充跳跃表
    for(int j=1; j<LOG; ++j) {
        for(int i=1; i<=n; ++i) {
            if(up[i][j-1] != -1)
                up[i][j] = up[up[i][j-1]][j-1];
        }
    }
}

​填表顺序原理
基于递推关系：2^j = 2^(j-1) + 2^(j-1)，因此每个节点的2^j级祖先等于其2^(j-1)级祖先的2^(j-1)级祖先

步骤4：二进制分解查询（以LCA为例）

int lca(int u, int v) {
    // 对齐深度（假设u更深）
    if(depth[u] < depth[v]) swap(u, v);
    
    // 二进制分解提升较深节点
    for(int j=LOG-1; j>=0; --j) {
        if(depth[u] - (1<<j) >= depth[v])
            u = up[u][j];
    }
    
    // 特判直接祖先情况
    if(u == v) return u;
    
    // 同步提升寻找最近公共祖先
    for(int j=LOG-1; j>=0; --j) {
        if(up[u][j] != up[v][j]) {
            u = up[u][j];
            v = up[v][j];
        }
    }
    return up[u][0]; // 最终父节点即为LCA
}

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三、关键优化技巧

1. ​空间压缩
   对于非二叉树，可采用链式前向星存储树结构

2. ​预处理加速
   预先计算log2表，将位运算转换为查表操作：

   int log_table[MAXN];
   void init_log() {
       log_table[1] = 0;
       for(int i=2; i<MAXN; ++i)
           log_table[i] = log_table[i/2] + 1;
   }

3. ​路径压缩
   结合并查集思想优化跳跃路径，适用于特定场景

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四、复杂度分析

操作	时间复杂度	空间复杂度
预处理	O(n logn)	O(n logn)
单次查询	O(logn)	O(1)
暴力法对比	O(n)	O(1)

​复杂度优势场景
当查询次数q达到1e5量级时，总时间复杂度从O(nq)优化为O(n logn + q logn)，效率提升约10^4倍

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五、算法扩展与变种

1. ​路径权值查询
   扩展跳跃表存储路径权值极值：

   int max_edge[MAXN][LOG]; // 存储路径最大边权

2. ​动态树结构
   结合欧拉序与线段树实现动态LCA查询

3. ​森林处理
   通过增加root标记处理多棵树的情况：

   bool is_same_tree(int u, int v) {
       return root[u] == root[v];
   }

4. ​跳跃终点预测
   预处理每个节点的2^j级祖先是否超出树高，避免无效跳跃