【质数筛】埃氏筛和欧拉筛

参考视频：

找素数的3种方法 试除法 埃氏筛 线性筛 动画演示过程 noi大纲数论基础_哔哩哔哩_bilibili

题目：

试除法：

埃氏筛：

核心思想：素数的整数倍一定是合数 找出合数剩下的就是素数

void sieve_of_eratosthenes(int m, int n) {
    int is_prime[n + 1]; // 标记数组，1 表示素数，0 表示非素数
    memset(is_prime, 1, sizeof(is_prime)); // 初始化为 1（假设全是素数）
    is_prime[0] = is_prime[1] = 0; // 0 和 1 不是素数

    for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
        if (is_prime[i]) {
            for (int j = i * i; j <= n; j += i) {//从i*i开始
                is_prime[j] = 0; // 标记为非素数
            }
        }
    }

    // 输出从 m 到 n 的素数
    for (int i = m; i <= n; i++) {
        if (is_prime[i]) {
            printf("%d ", i);
        }
    }
    printf("\n");
}

int main() {
    int m, n;
    printf("输入范围 m 和 n（m <= n）：");
    scanf("%d %d", &m, &n);
    sieve_of_eratosthenes(m, n);
    return 0;
}

找出从m到n之间的素数就是先找出从1到n的所有素数 但是只把从m到n的素数输出

欧拉筛：

void euler_sieve(int m, int n) {
    int is_prime[n + 1]; // 标记数组，1 表示素数，0 表示非素数
    int primes[n + 1];   // 用于存储所有素数
    int prime_count = 0; // 素数计数
    memset(is_prime, 1, sizeof(is_prime)); // 初始化为 1（假设全是素数）
    is_prime[0] = is_prime[1] = 0; // 0 和 1 不是素数

    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (is_prime[i]) {
            primes[prime_count++] = i; // 保存素数
        }
        for (int j = 0; j < prime_count && i * primes[j] <= n; j++) {
            is_prime[i * primes[j]] = 0; // 标记非素数
            if (i % primes[j] == 0) {
                break; // 保证每个数只被其最小的质因数筛除
            }
        }
    }

    // 输出从 m 到 n 的素数
    for (int i = 0; i < prime_count; i++) {
        if (primes[i] >= m) {
            printf("%d ", primes[i]);
        }
    }
    printf("\n");
}

int main() {
    int m, n;
    printf("输入范围 m 和 n（m <= n）：");
    scanf("%d %d", &m, &n);
    euler_sieve(m, n);
    return 0;
}

对比埃氏筛和欧拉筛：

1. 埃式筛法： 

   - 简单直观，适合初学者。

   - 时间复杂度约为 (O(nloglog n))。

   - 会多次标记同一个数的倍数。

实现简单 适用于范围更小的情况。

2. 欧拉筛法： 

   - 更高效，保证每个数只被其最小素因子标记一次。

   - 时间复杂度为 (O(n))。

   - 实现略复杂，但对大范围筛选更有优势。

效率更高 适用于范围更大的情况。