CSP-S 2023 初赛 阅读程序 第二题 程序功能详解

看了一下网上的解析，大多比较简略，使本蒟蒻感到为难，所以决定死磕到底并写一篇讲解。

一看这个 solve1 就不好对付，我们要先理论分析一下，再进行模拟。
第一个循环很像质数筛，发现 $p[i]$ 就是用来标记质数的，目前还是质数值就为 1。发现 $d=i^1,i^2,i^3,\dots ,i^k(i^k\le n)$，反转之后是 $i^k,i^k-1,\dots ,i^2,i^1$。接下来遍历了每一个 $d$ 中的元素 $k$，这里的 $j$ 则遍历了 $k$ 的倍数，并且把 $p_j$ 标记为 0，表示找到了因数，$j$ 不是质数。这里的 $i$ 是质数，所以 $f_j$ 应该是记录了把 $p_j$ 标记为 0 的时的质数。 $g_j=k$，记录了 $j$ 的质因数分解中有 $x$ 个 $i$，$g_j=i^x$。现在明白了，反转是为了让 $g_j$ 记录到最大的 $x$，把 $p_j$ 标记为 0 之后就不会再更改 $f$ 和 $g$ 的值了，遂取到最大值。发现了 $f_j$ 只会记录第一次枚举到的 $i$，我们再完善一下 $f_j$ 的定义：$f_j$ 是 $j$ 最小的质因子。
第二个循环，如果这个数有至少两个质因子（即是合数），必然有一个质因子 $i<=\lfloor \sqrt{n}\rfloor$，在第一个循环中被筛掉。此时所有合数已经被筛掉了，可以把 $\lfloor \sqrt{n}\rfloor$ 以上的质数 $i$ 的 $f_i,g_i$ 都标成 $i$，符合之前的定义。
第三个循环我是真的看不懂，于是先把之前的结论记下来，暴力模拟。本人做题时的草稿纸：

发现 $f_i$ 正是 $i$ 的所有因数之和！！！所以 solve1 返回的是 $n$ 以内所有正整数因数之和的总和。具体原因其实不一定要听懂（我绝对不会告诉你我没看懂解析）。
solve1 做完整个人精神饱满，开始对 solve2 进行模拟，发现 $n=10$ 时答案竟然相同！思考了亿会儿，发现n/i表示 $n$ 以内有因数 $i$ 的数（$i$ 的倍数）有几个，再乘上 $i$，就统计了所有 $n$ 以内的数中因数 $i$ 的总和，最后返回的也是所有数因数之和的总和，只是从两种角度统计，从 1 到 $n$ 的每个数和从具体的因数是几。于是乎轻松搞定（嚎叫）。