鏈式法則的證明

說明：本文最後一部分是鏈式法則的證明，可以直接讀最後一部分。我的狀態是重讀高數，所以追溯術語定義。

無窮小的和差積是無窮小，但是兩個無窮小的商會出現不同的情況。例如，當$x\to 0$時，$3x$、$x^2$、$\sin x$都是無窮小，而$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2}{3x}=0$，$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{3x}{x^2}=\infty$，$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{3x}=\frac{1}{3}$（註：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$，本文不作證明）。

定義：
如果$\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to x_0}{\text{(}or)x\to \infty }}{\lim }\frac{\beta }{\alpha }=0$，那麽就說$\beta$是比$\alpha$高階的無窮小，記作$\beta =o(\alpha )$。
如果$\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to x_0}{\text{(}or)x\to \infty }}{\lim }\frac{\beta }{\alpha }=\infty$，那麽就說$\beta$是比$\alpha$低階的無窮小。
如果$\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to x_0}{\text{(}or)x\to \infty }}{\lim }\frac{\beta }{\alpha }=c\ne 0$，那麽就說$\beta$與$\alpha$是同階的無窮小。
如果$\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to x_0}{\text{(}or)x\to \infty }}{\lim }\frac{\beta }{{\alpha }^k}=c\ne 0$，$k>0$，那麽就說$\beta$是關於$\alpha$的$k$階的無窮小。
如果$\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to x_0}{\text{(}or)x\to \infty }}{\lim }\frac{\beta }{\alpha }=1$，那麽就說$\beta$與$\alpha$是等價無窮小，記作$\alpha \sim \beta$。

等價無窮小有兩個定理。

定理1 $\beta$與$\alpha$是等價無窮小的充分必要條件為$\beta =\alpha +o(\alpha )$。
證：$\Rightarrow ]$必要性。$\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to x_0}{\text{(}or)x\to \infty }}{\lim }\frac{\beta }{\alpha }=1$，$\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to x_0}{\text{(}or)x\to \infty }}{\lim }\frac{\beta -\alpha }{\alpha }=0$，$\beta -\alpha =o(\alpha )$，$\beta =\alpha +o(\alpha )$。
$\Leftarrow ]$充分性。$\beta -\alpha =o(\alpha )$，$\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to x_0}{\text{(}or)x\to \infty }}{\lim }\frac{\beta }{\alpha }=\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to x_0}{\text{(}or)x\to \infty }}{\lim }\frac{\alpha +o(\alpha )}{\alpha }=\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to x_0}{\text{(}or)x\to \infty }}{\lim }(1+\frac{o(\alpha )}{\alpha })=1$。

定理2 設$\alpha \sim \tilde{\alpha }$，$\beta \sim \tilde{\beta }$，且$\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to x_0}{\text{(}or)x\to \infty }}{\lim }\frac{\tilde{\beta }}{\tilde{\alpha }}$存在，$\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to x_0}{\text{(}or)x\to \infty }}{\lim }\frac{\beta }{\alpha }=\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to x_0}{\text{(}or)x\to \infty }}{\lim }\frac{\tilde{\beta }}{\tilde{\alpha }}$。
證：$\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to x_0}{\text{(}or)x\to \infty }}{\lim }\frac{\tilde{\beta }}{\tilde{\alpha }}=\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to x_0}{\text{(}or)x\to \infty }}{\lim }\frac{\tilde{\beta }}{\beta }\frac{\beta }{\alpha }\frac{\alpha }{\tilde{\alpha }}=\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to x_0}{\text{(}or)x\to \infty }}{\lim }\frac{\tilde{\beta }}{\beta }\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to x_0}{\text{(}or)x\to \infty }}{\lim }\frac{\beta }{\alpha }\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to x_0}{\text{(}or)x\to \infty }}{\lim }\frac{\alpha }{\tilde{\alpha }}$

我們來看近一點無窮小$\alpha$。

1）無窮小有無窮小函數或無窮小數列，這裏$\alpha$是無窮小函數。雖然看上去是單個字母，但是我們要清楚這個字母表示函數，我們要在心裏翻譯成有自變量的函數，比如自變量用$x$表示，即$\alpha =\alpha (x)$。我們說$\alpha (x)$是無窮小具體什麼意思呢？當$x\to x_0$，$\alpha (x)\to 0$，即$\underset{x\to x_0}{\lim }\alpha (x)=0$

2）$\beta \sim \alpha$，則$\beta =\alpha +o(\alpha )$，特別地，$\alpha \sim \alpha +o(\alpha )$。例如，當$x\to 0$，例如$3x\sim 3x+x^2$，當$x\to 0$。

3）如果$\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to x_0}{\text{(}or)x\to \infty }}{\lim }\frac{\beta }{\alpha }=0$，那麽就說$\beta$是比$\alpha$高階的無窮小，記作$\beta =o(\alpha )$。

$o(\alpha )$直覺上是什麼意思呢？

By definition，無窮小$=$函數求某一點極限、極限為$0$。所以當我們談無窮小，我們必然指的是求極限，前提是自變量同一變化條件，即自變量$x\to x_0$，或者自變量$x\to \infty$，但本段敘述，我們以$x\to x_0$為例。如果我們用泰勒展開式來理解，函數$f(x)$在$x_0$多階導數存在，那麽函數就可以展開成多項式，當$x\to x_0$，即一切$x\in \mathring{U}(x_0)$，$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}(x-x_0)+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+...$。這裏的函數是任何函數，比如三角函數，或者看著很古怪很複雜的函數。這個事實很重要，因為對人手算和計算機CPU指令計算來說，只能加減乘除，我們不會算三角函數，CPU也不會，真正的計算是使用泰勒展開式，使函數變成多項式，再做人或CPU的計算。
所以我們想想看，兩個無窮小的比較，本質是每個函數的第一個$x^i$的比較，誰的冪$i$更大，誰收斂得更快，誰就是更高階的無窮小。

如果$\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to x_0}{\text{(}or)x\to \infty }}{\lim }\frac{\beta }{{\alpha }^k}=c\ne 0$，$k>0$，那麽說$\beta$是關於$\alpha$的$k$階的無窮小。假設我們以$y=x$為例，$\alpha =\alpha (x)=x$，$x\to x_0$，那麽，$\beta$是$\alpha$的$k$階無窮小指的是，$\beta =\beta (x)$，在$x_0$的鄰域泰勒展開的話，最小冪次項$x^k$。當然，如果$\alpha =\alpha (x)=x^2$，那麽$\beta =\beta (x)$的泰勒展開式中最小冪次項$x^{2k}$。

那如果$\alpha =\alpha (x)=x^2$，$o(\alpha )$直覺上是$x^3$、$x^4$，或者泰勒展開式中最小冪次項是$x^3$、$x^4$這樣的函數。$\alpha =\alpha (x)=x^7$，$o(\alpha )$直覺上$x^8$起。換句話說，當$x\to 0$，$\beta$是$o(\alpha )$，到底還是要用$x$表示的函數，$x$的冪次比$\alpha (x)$更高。這裏的討論，$x\to 0$即泰勒展開式$(x-x_0)\to 0$，即$x\to x_0$。

我們來證明複合函數求導法則即鏈式法則（chain rule）。定義如下（參考附錄）——

鏈式法則 如果$u=g(x)$ 在點$x_0$可導，而$y=f(u)$在點$u_0=g(x_0)$可導，則複合函數$u=f[g(x)]$在點$x_0$可導，且導數為
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}{|}_{x=x_0}=f^{\prime }(\varphi (x_0))\cdot {\varphi }^{\prime }(x_0)$$

什麼是『可導』？

$x\to x_0$，令$\Delta x=x-x_0$，$\Delta y=f(x)-f(x_0)=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$。

定義：設函數$y=f(x)$在點的某個鄰域內有定義，當自變量$x$在$x_0$處得到增量$\Delta x$（點$x_0+\Delta x$仍在該鄰域內）時，相應地，因變量取得增量$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$。如果$\Delta y$與$\Delta x$之比當$\Delta x\to 0$極限存在，那麽稱函數$y=f(x)$在$x_0$處可導，並稱這個極限為導數，記為$f^{\prime }(x_0)$，即$$f^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$
也可記作$y^{\prime }{|}_{x=x_0}$，$\frac{df(x)}{dx}{|}_{x=x_0}$。

這裏$f(x_0)$是$f(x)$在$x_0$有定義了。從極限的定義過來，現在涉及$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A=f(x_0)$，定義域不再是$x_0$的去心鄰域，而是$x_0$的鄰域。

我們來看函數連續的定義。

定義：設函數$y=f(x)$在點$x_0$的某一鄰域內有定義，如果$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$，那麽就稱函數$f(x)$在點$x_0$連續。

這個定義如果用$\epsilon -\delta$表達：

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)\iff \forall \epsilon >0$，$\exists \delta >0$，當$0<|x-x_0|<\delta$，$|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$。

這個$\epsilon -\delta$表達為什麼仍然是去心鄰域$x\in \mathring{U}(x_0,\delta )$？因為求某點的極限，就是點的去心鄰域求極限。

鄰域體現在$f(x_0)$這個表達式，$f(x)$在$x=x_0$點有定義。求極限的定義中，$|f(x)-A|<\epsilon$。

既然函數『判斷是否連續』這個運算，那就有函數和、差、積、商、反函數、複合函數『判斷是否連續』的任務；同理，求導還有函數和、差、積、商、反函數、複合函數的求導。本文僅聚焦與複合函數的求導。

我們看近一點$\Delta x$。$\Delta x=x-x_0$，相當於$\Delta (x)=x-x_0$，這是一個函數，$\Delta$是函數標識，是一條在$y$軸下移$x_0$的直線。當$x\to x_0$，$\underset{x\to x_0}{\lim }\Delta x=\underset{x\to x_0}{\lim }(x-x_0)=0$，用$\epsilon -\delta$表達，$\forall ϵ>0$，令$\delta =\epsilon$，使得$0<|x-x_0|<\delta$，$|x-x_0|<ϵ$。

換句話說，當$x\to x_0$，$\Delta x$是一個無窮小函數，且$\Delta x\ne 0$，因為一旦求極限，by definition，定義在$x_0$的去心鄰域，而不是鄰域，所以$\Delta x\ne 0$。如果$x\to {x_0}^{-}$，即$x$從$x_0$的左側趨向於$x_0$，就是座標軸上，從負向往正向趨向於$x_0$，或者說從比$x_0$小的數趨向於$x_0$，或者說按地圖默認方向上北下南左西右東，從西側向東趨向於$x_0$，那麽，$\Delta x<0$。反之，$x\to {x_0}^{+}$，$\Delta x>0$。在微分中，$\Delta x$又寫成$\mathrm{d}x$，我們一般直覺地想到函數求面積，割成無數個密密緊緊的小的矩形，$\mathrm{d}x$是$X$軸上的小小的短線。這樣神秘化$\mathrm{d}x$了，混淆了微分和積分，積分中$\Delta x$是在乘數的位置，是求函數面積。是求極限中的$x_0$不停地移動。如果積分區間的第一個數是$x_0$，第一個$\mathrm{d}x$區間是$(x_0,x_1]$，$\mathrm{d}x=x_1-x_0$，第2個積分區間是$(x_1,x_2]$，$\mathrm{d}x=x_2-x_1$，……。求導中$\mathrm{d}x=\Delta x=x-x_0$，放在分母，當$x\to x_0$，是無窮小，但$\mathrm{d}x=\Delta x\ne 0$，所以其寫在分母的位置，我們沒有條件反射似的趕緊註明『分母不為零』。我們可不能簡單地將$\mathrm{d}x$中的$\mathrm{d}$視為普通字母$d$，也是一個函數的標識，就像$f(x)$的$f$。數學公式中所有代表變量的字母甚至代表函數的字母都是斜體，可是$\mathrm{d}x$中的$\mathrm{d}$是正體。$\mathrm{d}x$我們要視為$\mathrm{d}(x)=x-x_0$，當$x\to x_0$，一個無窮小，$\underset{x\to x_0}{\lim }\mathrm{d}x=\underset{x\to x_0}{\lim }\Delta x=\underset{x\to x_0}{\lim }(x-x_0)=0$。

我們來看$\Delta y$。$\Delta y=f(x)-f(x_0)=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$，當$f(x)$在$x_0$導數存在時，$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=f^{\prime }(x_0)$，如果$f^{\prime }(x_0)=0$，則， $x\to x_0$時，$\Delta y$是$\Delta x$的高階無窮小，$\Delta y=o(\Delta x)$；如果$f^{\prime }(x_0)\ne 0$，$f^{\prime }(x_0)$是個非零的常數，那麽$\Delta y$是$\Delta x$的同階無窮小。總之，如果$x_0$點導數存在，當$x\to x_0$，$\Delta y$必是無窮小，如果$\Delta y=f(x)-f(x_0)$這麽定義$\Delta y$是自變量為$x$的無窮小，如果$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$這麽定義，$\Delta y$的自變量是$\Delta x$，還是個複合函數（即嵌套函數），因為$\Delta x=x-x_0$。當$x\to x_0$，$\Delta y$是無窮小，$\underset{x\to x_0}{\lim }\Delta y=\underset{x\to x_0}{\lim }[f(x)-f(x_0)]=0\Rightarrow \underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$，即$f(x)$在$x_0$連續。所以，函數在某點可導必連續。

可以看出來，求極限是在某點的去心鄰域求$f(x)$極限，求導是連續函數在某點的去心鄰域求導。能不能直接說求導是某點的鄰域求導？可以的，因為求導這一運算包括了『判斷連續』和『求極限』兩個操作。能不能說求導是在某點的鄰域$\frac{\Delta y}{\Delta x}$求極限呢？不能，求極限只能在去心鄰域求極限。

求導必某點求導，是函數在此點有定義，且在此點去心鄰域$\frac{\Delta y}{\Delta x}$求極限。所以導函數怎麼理解？我們背誦的求導公式，比如，$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$，真正的含義是$(\sin x{)}^{\prime }{|}_{x=x_0}=\cos x_0$。又因為$(\sin x{)}^{\prime }{|}_{x=x_1}=\cos x_1$，所以，這裏有一個pattern，$(\sin x{)}^{\prime }{|}_{x=x_0}=\cos x{|}_{x=x_0}$，所以稱$\sin x$的導函數是$\cos x$，記作$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$。

所以我們可以這樣理解導數和導函數：

『導數』：在函數$y=f(x)$的定義域$D_f$上取任意一點$x_0$，當$x$在$x_0$的去心鄰域變化，得到增量$\Delta x$，相應地，因變量取得增量$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$。如果$\Delta y$與$\Delta x$之比當$\Delta x\to 0$極限存在，那麽稱函數$y=f(x)$在$x_0$處可導，並稱這個極限為$f(x)$在點$x_0$的導數，記為$\frac{df(x)}{dx}{|}_{x=x_0}$。

$$\frac{df(x)}{dx}{|}_{x=x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=g(x_0)$$

『導函數』：由於$x_0$是定義域$D_f$上任意點，$g(x_0)=g(x){|}_{x=x_0}$，稱$g(x)$是$f(x)$的導函數，記作$f^{\prime }(x)=g(x)=y^{\prime }$。$f(x)$在點$x_0$的導數為$g(x_0)=g(x){|}_{x=x_0}=f^{\prime }(x){|}_{x=x_0}=f^{\prime }(x_0)$。

以下證明鏈式法則。

鏈式法則 如果$u=g(x)$ 在點$x_0$可導，而$y=f(u)$在點$u_0=g(x_0)$可導，則複合函數$u=f[g(x)]$在點$x_0$可導，且導數為
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}{|}_{x=x_0}=f^{\prime }(g(x_0))\cdot g^{\prime }(x_0).$$

證：按定義，$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}{|}_{x=x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f[g(x)]-f[g(x_0)]}{x-x_0}$。

嵌套函數求極限，代換，$u=g(x)$。
$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f[g(x)]-f[g(x_0)]}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\left(\frac{f[g(x)]-f[g(x_0)]}{u-u_0}\frac{u-u_0}{x-x_0}\right)\text{(公式1)}$$

$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{u-u_0}{x-x_0}$極限存在，$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{u-u_0}{x-x_0}=g^{\prime }(x_0)$，我們來證明$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f[g(x)]-f[g(x_0)]}{u-u_0}$極限存在。

因為$\underset{u\to u_0}{\lim }\frac{f[g(x)]-f[g(x_0)]}{u-u_0}=f^{\prime }(u_0)$，用$\epsilon -\delta$表示，$\forall {\epsilon }_1>0$，$\exists {\delta }_1>0$，使得一切$0<|u-u_0|<{\delta }_1$，$|\frac{f(u)-f(u_0)}{u-u_0}-f^{\prime }(u_0)|<{\epsilon }_1$。

思路：現在$x\to x_0$，如果我們能找到$x_0$的某個去心鄰域，使得$0<|u-u_0|<{\delta }_1$，則$x_0$的這個去心鄰域內，$|\frac{f(u)-f(u_0)}{u-u_0}-f^{\prime }(u_0)|<{\epsilon }_1$。

因為$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{u-u_0}{x-x_0}$極限存在，$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{u-u_0}{x-x_0}=g^{\prime }(x_0)$，所以$\underset{x\to x_0}{\lim }(u-u_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }[\frac{(u-u_0)}{x-x_0}(x-x_0)]=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{(u-u_0)}{x-x_0}\underset{x\to x_0}{\lim }(x-x_0)=0$。

$\underset{x\to x_0}{\lim }(u-u_0)=0$，用$\epsilon -\delta$表示，令${\epsilon }_2={\delta }_1$，$\exists {\delta }_2>0$，使得$0<|x-x_0|<{\delta }_2$，$|u-u_0|<{\epsilon }_2={\delta }_1$。

又因為$|x-x_0|>0$，如果此去心鄰域內一切$u=u_0$，那$u=g(x)=g(x_0)=c_0$是個常數函數，$c_0$是常數，所以，$f[g(x)]=f(c_0)]$也是常數函數，常數函數不含變量，不是複合函數。就算$g(x)$是一個分段函數，在點$x_0$的去心鄰域是常數，那麽，不會$g(x)$的整個定義域$D_g$，$g(x)$是常數，我們取$x_0$位於分段函數非常數的子域。而分段函數為常數的子域，$f(g(x_0))=c_0$，導數為$0$，$g^{\prime }(x_0)=0$，$f^{\prime }(g(x_0))=0$，$f^{\prime }(g(x_0))=f^{\prime }(g(x_0))\cdot g^{\prime }(x_0)=0$，trivial。

$g(x)$在定義域某子域非常數函數，$x_0$位於該子域，一切$x$在$x_0$去心鄰域$\mathring{U}(x_0,{\delta }_2)$不可能一切$u=u_0$。

如果一切$x$在$x_0$去心鄰域$\mathring{U}(x_0,{\delta }_2)$時，一切$u\ne u_0$，那我們找到了$x_0$的這個去心鄰域，使得$\forall {\epsilon }_1>0$，$\exists {\delta }_2>0$，當$0<|x-x_0|<{\delta }_2$時，$0<|u-u_0|<{\delta }_1$，$|\frac{f(u)-f(u_0)}{u-u_0}-f^{\prime }(u_0)|<{\epsilon }_1$。

如果，一切$x$在$x_0$去心鄰域$\mathring{U}(x_0,{\delta }_2)$時，存在一些點$x_1,x_2,...,x_i,...(i\in {\mathrm{N}}_{+}，x_i\ne x_0，x_1<x_2<...<x_i<...)$，使得$u(x_i)=u_0$，那麽，取第一個最靠近$x_0$的點$x_j$，令 ∣ x j − x 0 ∣ = m i n { ∣ x 1 − x 0 ∣ , ∣ x 2 − x 0 ∣ , . . . , ∣ x i − x 0 ∣ , . . . } |x_j-x_0|=min\{|x_1-x_0|,|x_2-x_0|,...,|x_i-x_0|,...\} ∣xj​−x0​∣=min{∣x1​−x0​∣,∣x2​−x0​∣,...,∣xi​−x0​∣,...}，令${\delta }_3=|x_0-x_j|$，當$x$在這個去心鄰域$\mathring{U}(x_0,{\delta }_3)$，$|u-u_0|>0$。這樣我們找到了這個$x_0$去心鄰域，對於$\forall {\epsilon }_1>0$，當一切$x\in \mathring{U}(x_0,{\delta }_3)$，$0<|u-u_0|<{\delta }_1$，$|\frac{f(u)-f(u_0)}{u-u_0}-f^{\prime }(u_0)|<{\epsilon }_1$。

故，$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(u)-f(u_0)}{u-u_0}$極限存在，$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(u)-f(u_0)}{u-u_0}=f^{\prime }(u_0)$。

函數積的極限=極限的積，公式1為：

$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f[g(x)]-f[g(x_0)]}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\left(\frac{f[g(x)]-f[g(x_0)]}{u-u_0}\frac{u-u_0}{x-x_0}\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(u)-f(u_0)}{u-u_0}\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{u-u_0}{x-x_0}=f^{\prime }(u_0)u^{\prime }(x_0)=f^{\prime }(g(x_0))\cdot g^{\prime }(x_0)$

Q.E.D.

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附錄 不同《高等數學》課本對鏈式法則的定義

《高等數學（第三版）上冊》（1995）的定義如下。

鏈式法則 如果$u=\varphi (x)$ 在點$x_0$可導，而$y=f(u)$在點$u_0=\varphi (x_0)$可導，則複合函數$u=f[\varphi (x)]$在點$x_0$可導，且導數為
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}{|}_{x=x_0}=f^{\prime }(\varphi (x_0))\cdot {\varphi }^{\prime }(x_0)$$

《高等數學（第七版）上冊》（2015）的定義如下。

鏈式法則 如果$u=g(x)$ 在點$x$可導，而$y=f(u)$在點$u=g(x)$可導，則複合函數$u=f[g(x)]$在點$x$可導，且導數為
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f^{\prime }(\varphi (x))\cdot {\varphi }^{\prime }(x)\text{或}\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dx}\cdot \frac{du}{dx}$$