極限的性質

函數極限存在的數學表達有$\epsilon -\delta$（讀作：[epˈsə.lɔn] [ˈdel.tə]）表達法，用於$x\to x_0$；或者$\epsilon -X$（讀作：[epˈsə.lɔn]大X）表達法，用於$x\to \infty$。

數列（sequence）極限存在（或者說數列收斂converge）的數學表達法是$\epsilon -N$（讀作：[epˈsə.lɔn]大N）表達法。

無窮大的數學表達法有$M-\delta$（讀作：大M [ˈdel.tə]）表達法，用於$x\to x_0$；或者$M-X$（讀作：大M大X）表達法，用於$x\to \infty$。

具體定義如下。

『極限』定義：設函數$f(x)$在點$x_0$的某一去心鄰域內有定義。如果存在常數A，對於任意給定的正數$\epsilon$（不論其多小），總存在正數$\delta$，使得$x$滿足不等式$0<|x-x_0|<\delta$時，對應的函數值$f(x)$都滿足不等式$$|f(x)-A|<\epsilon$$
那麽，常數A就叫做函數$f(x)$當$x\to x_0$時的極限，記作：$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$。讀作：limit $x$趨向於$x_0$ $f(x)$等於$A$。

$\text{或記作：}f(x)\to A\text{（當}x\to x_0\text{）。}$

去心鄰域的定義是這樣的，$x_0\in \mathrm{R}$，$\delta >0$，開區間$(x_0-\delta ,x_0+\delta )$稱為$x_0$的$\delta$鄰域，記作$U(x_0,\delta )$，點$x_0$的去心$\delta$鄰域記作$\mathring{U}(x_0,\delta )$，$\delta$稱為鄰域半徑。有時，存在$x_0$的去心鄰域，也記作$\mathring{U}(x_0)$。

日常，如果我們說$f(x)$的極限存在，我們指的是：$x\to x_0$，設極限值$A$，$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$。

以上是「自變量趨向於有限值時」的極限定義，即$x\to x_0$的極限定義；還有「自變量趨於無窮大時」的極限定義，即$x\to \infty$的極限定義——

設函數$f(x)$當$|x|$大於某個正數時有定義。如果存在常數A，對於任意給定的正數$\epsilon$（不論其多小），總存在正數$X$，使得$|x|>X$，$|f(x)-A|<\epsilon$，則稱$A$為$f(x)$當$x\to \infty$時的極限，記作：$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=A$。

$\text{或記作：}f(x)\to A\text{（當}x\to \infty \text{）。}$

所以，日常如果我們說$f(x)$的極限存在，我們還可能指的是：$x\to \infty$，設極限值$A$，$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=A$。

比較以上兩個定義，有限值，則在自變量狹小鄰域；無窮，則在自變量單側的廣大區間。教科書上，$x\to x_0$或$x\to \infty$稱為『自變量的同一變化過程』。$\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to x_0}{\text{ or }x\to \infty }}{\lim }f(x)=A$。

一般的，定理證明只做自變量趨向於有限值的一部分，而認為自變量趨向於無窮的部分同理可證，或請讀者自證。

『數列極限』的定義：設 { x n } \{x_n\} {xn​}為一數列，如果存在常數$a$，對於任意給定的正數$\epsilon$（不論其多小），總存在正整數$N$，使得$n>N$，不等式$|x_n-a|<\epsilon$都成立，那麽就稱常數$a$是數列 { x n } \{x_n\} {xn​}的極限，或者稱數列 { x n } \{x_n\} {xn​}收斂於$a$，記作：$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a$。

$\text{或記作：}：x_n\to a(n\to \infty )$。

『無窮小』定義即以上函數極限定義，但極限值為$0$，即$A=0$，$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=0$或$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=0$。

{ x n } \{x_n\} {xn​}如果極限為$0$，也稱為無窮小。

但是，無窮小函數和函數極限有一個關係——

無窮小和函數極限關係定理：在自變量的同一變化過程中，即$x\to x_0$或$x\to \infty$時，函數$f(x)$具有極限$A$的充分必要條件是$f(x)=A+\alpha$，其中$\alpha$是無窮小。

證：必要性$\Rightarrow ]$。先證明$x\to x_0$的情況，$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A\Rightarrow \forall \epsilon >0$，$\exists \delta >0,0<|x-x_0|<\delta$，$|f(x)-A|<\epsilon$。設$\alpha (x)=f(x)-A$，則$|\alpha (x)|<\epsilon$，即$\underset{x\to x_0}{\lim }\alpha (x)=0$，故$x\to x_0$時，$f(x)=A+\alpha (x)$，且$\alpha (x)$是無窮小。$\alpha (x)$可簡記為$\alpha$，即：$x\to x_0$時，$f(x)=A+\alpha$，且$\alpha$是無窮小。

再證明$x\to \infty$的情況，$\forall \epsilon >0$，$\exists X>0$，$|x|>X$時，$|f(x)-A|<\epsilon$。設$\alpha =f(x)-A$，則$|\alpha |<\epsilon$，即$\underset{x\to \infty }{\lim }\alpha =0,\therefore f(x)=A+\alpha$，且$\alpha$是無窮小。

充分性$\Leftarrow ]$。證明$x\to x_0$的情況，$f(x)=A+\alpha$，且$\alpha$是無窮小，則$\forall \epsilon >0$，$\exists \delta >0$，當$0<|x-x_0|<\delta$，$|\alpha |<\delta$， 即$|f(x)-A|<\delta ,\therefore \underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$。
再證明$x\to \infty$的情況，$\alpha$是無窮小，則$\forall \epsilon >0$，$\exists X>0$，當$|x|>X$，$|\alpha |<\epsilon$，即$|f(x)-A|<\epsilon$，故$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=A$。

這個定理我們要牢牢記住：$x\to x_0$或$x\to \infty$時，$f(x)=A+\alpha$，函數=極限值+無窮小。在證明極限運算法則中需要用到，求函數的和差積商複合的極限。

『無窮大』定義：設函數$f(x)$在$x_0$的某個去心鄰域內有定義（或$|x|$大於某個正數時有定義），如果對於任意給定的正數$M$（不論其多大），總存在正數$\delta$（或正數$X$），使得$0<|x-x_0|<\delta$（或$|x|>X$），對應的函數值$f(x)$滿足不等式$|f(x)|>M$，則稱$f(x)$是當$0<|x-x_0|<\delta$（或$|x|>X$）的無窮大。

記作$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\infty$或$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=\infty$
這便是$M-\delta$或$M-X$表達法。

這些定義中，我們需要重點記住函數的$\epsilon -\delta$表達法，以及數列的$\epsilon -N$表達法。

下面我們來證明函數極限的4個性質定理。

定理1（函數極限的唯一性）：如果$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$存在，那麽這極限唯一。
證：設$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$不唯一，$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A，\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=B$，$A\ne B$，不妨設$A<B$。
設$\epsilon =\frac{B-A}{2}$，$\exists \mathring{U}(x_0,{\delta }_1)$，使得一切$x\in \mathring{U}(x_0,{\delta }_1)$，$|f(x)-A|<\epsilon$。$\exists \mathring{U}(x_0,{\delta }_2)$，使得一切$x\in \mathring{U}(x_0,{\delta }_2)$，$|f(x)-B|<\epsilon$。

令 δ = m i n { δ 1 , δ 2 } \delta=min\{\delta_1,\delta_2\} δ=min{δ1​,δ2​}，使得一切$x\in \mathring{U}(x_0,\delta )$，同時滿足：$|f(x)-A|<\frac{B-A}{2}$，$|f(x)-B|<\frac{B-A}{2}$。

註：如果我們在一維坐標軸上畫數值，A小，B大，$f(x)$在$A$所在開區間：$(A-\frac{B-A}{2},A+\frac{B-A}{2}=\frac{A+B}{2})$，$f(x)$在$B$所在開區間$(B-\frac{B-A}{2}=\frac{A+B}{2},B+\frac{B-A}{2})$，兩個區間無交集，$f(x)$不可能既落在A所在開區間，又落在B所在開區間，所以這是不對的。

數學表達：根據絕對值性質，$|x|<u$（$u$為正數），則$-u<x<u$。

$|f(x)-A|<\frac{B-A}{2}\Rightarrow f(x)-A<\frac{B-A}{2}\Rightarrow f(x)<\frac{A+B}{2}$。

$|f(x)-B|<\frac{B-A}{2}\Rightarrow -\frac{B-A}{2}<f(x)-B\Rightarrow f(x)>\frac{A+B}{2}$。
矛盾。故，如果$f(x)$的極限存在，不可能有兩個不同的極限值，極限值唯一。

我們再來證明$x\to \infty$的情況。

$x\to x_0$的證明是$\epsilon -\delta$，而$x\to \infty$證明是$\epsilon -X$，即上面的證明中做替換自變量變化區間。

如果我們將上面的證明敘述讀一遍，『$\exists \mathring{U}(x_0,{\delta }_1)$，使得一切$x\in \mathring{U}(x_0,{\delta }_1)$，$|f(x)-A|<\epsilon$』替換成『$\exists X_1$，使得一切$x>X_1$，$|f(x)-A|<\epsilon$』。

『$\exists \mathring{U}(x_0,{\delta }_2)$，使得一切$x\in \mathring{U}(x_0,{\delta }_2)$，$|f(x)-B|<\epsilon$』替換成『$\exists X_2$，使得一切$x>X_2$，$|f(x)-B|<\epsilon$』。

『令 δ = m i n { δ 1 , δ 2 } \delta=min\{\delta_1,\delta_2\} δ=min{δ1​,δ2​}，使得一切$x\in \mathring{U}(x_0,\delta )$』替換成『令 X = m a x { X 1 , X 2 } X=max\{X_1,X_2\} X=max{X1​,X2​}，使得一切$x>X$』。

下文中證明$x\to \infty$的情況就寫『$x\to \infty$證明類似』，即自變量變化區間替換。

高數教科書中數列的極限性質和函數極限性質是有強烈對應關係的。本文將兩者對照著寫。

對應地，數列極限的唯一性定理：如果數列 { x n } \{x_n\} {xn​}收斂，那麽其極限唯一。證明的數學表達法是$\epsilon -N$。

定理2（函數極限的局部有界性）：如果$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$，那麽存在常數$M>0$和$\delta >0$，使得$0<|x-x_0|<\delta$，$|f(x)|<M$。

思路：什麼是『有界』？

數列 { x n } \{x_n\} {xn​}有界的定義是：如果存在正數$M$，使得對於一切$x_n$，都滿足不等式$|x_n|⩽M$，那麽稱數列 { x n } \{x_n\} {xn​}有界。

函數的有界性定義：設函數$f(x)$的定義域為$D$，數集$X\subset D$，如果存在數$K_1$，使得$f(x)⩽K_1$，對任一$x\in X$都成立，那麽稱函數$f(x)$在$X$上有上界，而$K_1$稱為函數$f(x)$在$X$上的一個上界。如果存在$K_2$，使得$f(x)⩾K_2$，對於任一$x\in X$都成立，那麽稱函數$f(x)$在$X$上有下界，而$K_2$稱為函數$f(x)$在$X$上的下界。如果存在正數$M$，使得$|f(x)|⩽M$，對於任一$x\in X$都成立，那麽稱函數$f(x)$在$X$上有界。如果這樣的$M$不存在，就稱函數$f(x)$在$X$上無界。

證：令$\epsilon =1$，$\exists \delta >0$，使得$0<|x-x_0|<\delta$，$|f(x)-A|<\epsilon =1$。
絕對值性質：$|x-u|⩾|x|-|u|$。$|f(x)|-|A|⩽|f(x)-A|<1\Rightarrow |f(x)|<|A|+1$。令$M=|A|+1$，我們找到了這個$M$和$\delta$。
($x\to \infty$證明類似。)

說明：令$\epsilon =0.1$，我們可以找到另一組$M_1$和${\delta }_1$，有界的定義是『存在』一組$M$和$\delta$就足矣。
函數有界，我們直覺是某一定義域內，函數值不是正無窮也不是負無窮，而是侷限於某一範圍。
到目前為止，求極限只考慮$x_0$去心鄰域，極限是$A$，在是因為還沒有學到函數的連續性，連續性需要考慮函數在$x_0$的定義，且$f(x_0)=A$。所以，在討論極限的時候，只考慮極限值$A$。

極限的這個性質，我們可以記為極限必有界。

對應地，數列極限的有界性定理：如果數列 { x n } \{x_n\} {xn​}極限存在（即數列收斂），那麽數列 { x n } \{x_n\} {xn​}一定有界。
證明也是同一個思路的，就是證明表達法從$\epsilon -\delta$替換成$\epsilon -N$。

定理3（函數極限的局部保號性）：$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$。如果$A>0$（或$A<0$），那麽存在$\delta >0$，使得一切$x$在$\mathring{U}(x_0,\delta )$內，$f(x)>0$（或$f(x)<0）$。

證：若$A>0$，令$\epsilon =\frac{A}{2}>0$，存在$\delta >0$，使得一切$x\in \mathring{U}(x_0,\delta )$，$|f(x)-A|<\epsilon =\frac{A}{2}$。
絕對值屬性$-|x-u|⩽x-u⩽|x-u|$，$f(x)-A⩾-|f(x)-A|>-\frac{A}{2}\Rightarrow f(x)>\frac{A}{2}>0$。

若$A<0$，令$\epsilon =-\frac{A}{2}>0$，存在$\delta >0$，使得一切$x\in \mathring{U}(x_0,\delta )$，$|f(x)-A|<\epsilon =-\frac{A}{2}$。$f(x)-A<|f(x)-A|<-\frac{A}{2}\Rightarrow f(x)<\frac{A}{2}<0$
$x\to \infty$證明類似。

結合絕對值的性質，總結：$$f(x)\{\begin{array}{ll}>\frac{A}{2}=\frac{|A|}{2},& A>0\\ <\frac{A}{2}=-\frac{|A|}{2},& A<0\end{array}\Rightarrow |f(x)|>\frac{|A|}{2}$$

說明：如果我們在一維座標上畫，中間空，兩側像翅膀伸出去。

對應地，數列極限的保號性定理：如果$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a$，且$a>0$或（$a<0$），那麽存在正整數$N$，當$n>N$時，都有$x_n>0$（或$x_n<0$）。
同樣地，證明表達法從$\epsilon -\delta$替換成$\epsilon -N$。

定理3’：$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$，$A\ne 0$。那麽存在$\delta >0$，使得一切$x\in \mathring{U}(x_0,\delta )$，$|f(x)|>\frac{|A|}{2}$。
說明：那如果說$|f(x)|>\frac{4|A|}{5}$，對不對？也是對的。重點是這個值介於0和極限值之間。

推論：如果在$x_0$的某去心鄰域內$f(x)⩾0$（或$f(x)⩽0$），且$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$，那麽$A⩾0$（或$A⩽0$）。

證：$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$，在$x_0$的某去心鄰域$\mathring{U}(x_0,\delta )$內$f(x)⩾0$（不等式1）。假設$A<0$，那根據保號性$\exists \mathring{U}(x_0,{\delta }_1)$，使得一切$x\in \mathring{U}(x_0,{\delta }_1)$，$f(x)<0$（不等式2）。令 δ = m i n { δ , δ 1 } \delta=min\{\delta,\delta_1\} δ=min{δ,δ1​}，對於一切$x\in \mathring{U}(x_0,\delta )$，$f(x)$既滿足不等式1，又滿足不等式2，矛盾。故，$A⩾0$。

我們這樣理解：如果$x\to x_0$極限是正數，總存在一個$x_0$的去心鄰域，函數值為正；如果函數值在$x_0$的去心鄰域為正，那$x\to x_0$極限也得是正數。就是，極限存在的函數曲線是平滑的，不會跳值。

對應地，數列極限的局部保號性也有此推論：如果 數列 { x n } 數列\{x_n\} 數列{xn​}從某項起有$x_n⩾0$（或$x_n⩽0$），且$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a$，那麽，$a⩾0$（或$a⩽0$）。

定理4（函數極限與數列極限的關係）：如果極限$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$存在， { x n } \{x_n\} {xn​}為函數$f(x)$的定義域內任一收斂於$x_0$的數列，且滿足$x_n\ne x_0(n\in {\mathrm{N}}_{+})$，那麽相應的函數值數列 { f ( x n ) } \{f(x_n)\} {f(xn​)}必收斂，且$\underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n)=\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$。

思路：設$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$，這樣我們的任務變成證明$\underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n)=A$。

由前者，極限的$\epsilon -\delta$表達法，我們可以知道$x_0$的$\delta$去心鄰域內，$|f(x)-A|<\epsilon$。如果$x_n$也在這個鄰域內，那麽，$|f(x_n)-A|<\epsilon$，換句話說，$|x_n-x_0|<{\epsilon }_1=\delta 。$這可以用數列的$\epsilon -N$表達法。

證：設$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$。

$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0$，$0<|x-x_0|<\delta$，$|f(x)-A|<\epsilon$。
對於${\epsilon }_1=\delta$，$\exists N>0$，使得$n>N$，$|x_n-x_0|<{\epsilon }_1$，又因為$x_n\ne x_0$，故$0<|x_n-x_0|<{\epsilon }_1=\delta$，所以，$|f(x_n)-A|<\epsilon$。

總結，$\forall \epsilon >0,\exists N>0$，使得$n>N$，$|f(x_n)-A|<\epsilon$，故$\underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n)=A$。函數值數列 { f ( x n ) } \{f(x_n)\} {f(xn​)}收斂於$A$。
Q.E.D.

這個定理有複合函數即嵌套函數的含義。也可以看成定義域取子集，且為離散的子集。
對應地，數列極限與其子數列的關係定理：如果數列 { x n } \{x_n\} {xn​}極限存在、極限為a（即收斂於a），那麽其任一子數列也收斂，且極限也是a。
證明思路：子數列如何數學表示？數列是$x_1,x_2,x_3,...,x_n,...$，教科書說子數列$x_{n_1},x_{n_2},x_{n_3},...,x_{n_k},...$。比方說，取偶數位的數組成子數列，那麽$n_1=2，n_2=4,n_3=6,n_k=2k$，即子數列是$x_2,x_4,x_6,...,x_{2n},...$。就是說，$n_j$是子數列的第$j$個數，對應著原數列的第$i$個數$x_i$。根據這個設計，可知，$i=n_j⩾j$。

證：設數列 { x n k } \{x_{n_k}\} {xnk​​}是數列 { x n } \{x_n\} {xn​}的任一子數列。由於$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a$，則$\forall \epsilon >0$，$\exists N\in {\mathrm{N}}_{+}$，使得$n>N$時，$|x_n-a|<\epsilon$。
註：子數列中我們要找到第一個$n_k⩾N$。由於$n_j⩾j$，那麽令$K=N$，當$k>K$時，$n_k>n_K=n_N⩾N$，即$n_k>N$，故$|x_{n_k}-a|<\epsilon$，即$\underset{k\to \infty }{\lim }{x}_{n_k}=a$。
Q.E.D.

結論是：極限的性質是唯一、有界、保號、子集同極限。

編輯日誌：
1）本文用优快云 Markdown編輯器寫（即『使用MD編輯器』），文中用到的部分Latex如下：
$$\lim \limits_{x\rightarrow x_0\atop \text{ or }x\rightarrow \infty}f(x)=A$$ $\mathrm{N}$ （upright mode，數學公式中一般英文字母默認使用斜體，\mathrm則正。）
2）Q.E.D. = “quod erat demonstrandum,” /ˌkwɑːdˈeɚˌɑːtˌdɛmənˈstrændəm/ = “which was to be demonstrated.” =證畢
我沒有用『證畢』，是不想引起思路的斷點。可是又要符合證明格式，我可能選用該英文詞。
本文大多數證明沒有註明『證畢』或『Q.E.D』。
3）參考教科書：同濟大學數學系 編，《高等數學 第七版 上冊》，高等教育出版社，2015.9
4）編輯時間：2024.5.15