OpenGL数学基础之矩阵

最新推荐文章于 2025-06-02 15:07:24 发布

丿寒风

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分类专栏： OpenGL 文章标签： matrix 三维变换

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本文介绍了三维空间中物体的平移、旋转及伸缩变换的基本原理，并通过数学公式详细阐述了这些变换如何用4x4矩阵表示。此外还讨论了变换组合的应用。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

三维空间物体的运动使用变换来表示，包括三种：平移变换（translate），旋转变换(rolate)，伸缩变换(scale)，变换量可以使用4x4的矩阵(Matrix)表示，变换过程就是对物体的所有顶点都乘以这个矩阵。

矩阵乘法

$\begin{bmatrix} 1 & a & b \\ c & 1 & d \\ e & f & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x + a * y + b * z \\ c * x + y + d * z \\ e * x + f * y + z \end{bmatrix}$

矩阵乘法是行列向量相乘，所以行跟列必须是一样的矩阵才能相乘。

单位矩阵：
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$
根据上面的乘法公式可以知道，任何矩阵与单位矩阵相乘等于本身。

平移变换

假如有点(x, y, z)，现在将其安向量 $v_1, v_2 ,v_3)$ 平移，结果就为 $x + v_1, y + v_2, z + v_3)$ ，用矩阵表示如下：

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & v_1 \\ 0 & 1 & 0 & v_2 \\ 0 & 0 & 1 & v_3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x + v_1 \\ y + v_2 \\ z + v_3 \\ 1 \end{bmatrix}$

多出一行的原因是，但xyz都为0的时，矩阵乘法的结果总是为0，无法表示原点的平移；同时，4x4的矩阵可以连乘。

旋转变换

这里写图片描述
如图，圆为单位圆，已知点 $x_1, y_1)$ ，绕z轴旋转角度b，求该点旋转之后的坐标 $x_2, y_2)$ ，由图可得：

$x_2 = cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b) = x_1cos(b) - y1sin(b)$
$y_2 = sin(a+b) = sin(a)cos(b) + sin(b)cos(b) = y_1cos(b) + x_1sin(b)$

所以用矩阵表示点(x, y, z)绕z轴旋转(xy平面内)角度b：

$\begin{bmatrix} cos(b) & -sin(b) & 0 & 0\\ sin(b) & cos(b) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} xcos(b) - ysin(b) \\ xsin(b) + ycos(b) \\ z \\ 1 \end{bmatrix}$

绕y轴旋转(xz平面内)角度b：

$\begin{bmatrix} cos(b)& 0 & -sin(b)& 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ sin(b) & 0 & cos(b) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} xcos(b) - zsin(b) \\ y \\ xsin(b) + zcos(b) \\ 1 \end{bmatrix}$

绕x轴旋转(yz平面内)角度b：

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & cos(b) & -sin(b) & 0 \\ 0 & sin(b) & cos(b) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ ycos(b) - zsin(b) \\ ysin(b) + zcos(b) \\ 1 \end{bmatrix}$

伸缩变化

任何一个矩阵乘以单位矩阵得到的值不变，如果我们将单位矩阵中的1比分别变为

$s_1, s_2, s_3)$

则可以得到：

$\begin{bmatrix} s_1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & s_2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & s_3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} xs_1 \\ ys_2 \\ zs_3 \\ 1 \end{bmatrix}$