[hihocoder1527]快速乘法

最新推荐文章于 2022-07-25 12:26:29 发布

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本文介绍了一种使用位操作和加减法替代乘法运算的方法，旨在减少计算机执行乘法指令的时间消耗。通过动态规划算法，文章详细解释了如何将特定的乘法操作转换为一系列更高效的位移、加法和减法操作。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

在写代码时，我们经常要用到类似 x × a 这样的语句( a 是常数)。众所周知，计算机进行乘法运算是非常慢的，所以我们需要用一些加法、减法和左移的组合来实现乘一个常数这个操作。具体来讲，我们要把 x × a 替换成： $(x<<a0) op1 (x<<a1) op2 (x<<a2) ... opn (x<<an)$ 这样的形式，其中opi 是+或者-。

举个例子：x × 15 = (x<<4) - (x<<0)。

在本题中，假设左移（包括左移0）和加法、减法所需要的时间都是一个单位的时间，上述的例子所需要的时间是3。

现在给定常数 a 的二进制形式，求实现 x × a 最少需要多少单位的时间。

dp

题意就是让你用一堆二的次幂的加减凑出a，要求拿了凑的数个数尽量小。
我们考虑设f[i]表示凑出了a的前i位的最小操作数。
如果第i位是0，有f[i]=f[i-1]。
如果第i位是1，有两种操作：
直接加上这位，f[i]=f[i-1]+1。
或者加上 $2^{i+1}$ ，然后减去一个 $2^j$ ，这样[j,i]全部都是1，多出来的部分减掉。
f[i]=min(f[j-1]+2+sum[i]-sum[j-1])
枚举j则复杂度是平方。
注意不同的两个决策j和k，在i移一单位时，变化量一样，因此最优决策很容易维护。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
const int maxn=1000000+10;
char s[maxn];
int sum[maxn],f[maxn];
int i,j,k,l,t,n,m,ans,mx;
int main(){
    scanf("%s",s+1);
    n=strlen(s+1);
    reverse(s+1,s+n+1);
    fo(i,1,n) sum[i]=sum[i-1]+(s[i]=='0');
    mx=-1;
    fo(i,1,n){
        if (s[i]=='0') f[i]=f[i-1];
        else{
            f[i]=f[i-1]+1;
            if (mx) f[i]=min(f[i],f[mx-1]+2+sum[i]-sum[mx-1]);
        }
        if (mx==-1||f[mx-1]+2+sum[i+1]-sum[mx-1]>=f[i-1]+2+sum[i+1]-sum[i-1]) mx=i;
    }
    ans=f[n];
    printf("%d\n",ans*2-1);
}