无约束问题的极值条件

最新推荐文章于 2024-01-15 22:21:47 发布

滴水札记

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分类专栏：非线性优化文章标签：非线性优化极值条件梯度海赛矩阵

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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/mjie_liang/article/details/21886725

本文探讨了无约束非线性优化问题的极值条件，包括一阶必要条件、二阶必要和充分条件。对于局部极小点，函数在该点的梯度必须为零，且海赛矩阵需半正定。对于驻点的性质，正定的海赛矩阵指示局部极小点，负定则指示局部极大点，不定则可能为鞍点。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

有时候，我们希望根据一定的条件找到优化问题的极值点；另外一些时候，我们得到若干候选解，希望判断候选解中哪些是真正的极值点。这其中涉及非线性规划的极值条件问题。所谓非线性规划的极值条件，是指非线性规划模型最优解所要满足的必要或充分条件。本文介绍无约束非线性规划问题的极值条件。

1. 极值点的必要条件和充分条件

一阶必要条件 设实值函数 $f(\mathbf{x}):\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ 在点 $\mathbf{x}^*$ 处可微，若 $\mathbf{x}^*$ 是无约束优化问题 $\min f(\mathbf{x})$ 的局部极小点，则有

$\nabla f(\mathbf{x}^*) = \mathbf{0}$

其中， $\nabla f(\mathbf{x}^*)$ 表示函数 $f(\mathbf{x})$ 在点

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