树状数组 --区间查询+区间修改

本文介绍如何使用树状数组实现区间修改与区间查询操作,并通过一个示例题目展示具体实现过程。

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【问题引入】

对于区间修改、区间查询这样的简单问题,打一大堆线段树确实是不划算,今天来介绍一下区间查询+区间修改的树状数组

【一些基础】

树状数组的基本知识不再介绍,请自行百度

我们假设sigma(r,i)表示r数组的前i项和,调用一次的复杂度是log2(i)

设原数组是a[n],差分数组c[n],c[i]=a[i]-a[i-1],那么明显地a[i]=sigma(c,i),如果想要修改a[i]到a[j](比如+v),只需令c[i]+=v,c[j+1]-=v

【今天的主要内容】

我们可以实现NlogN时间的“单点修改,区间查询”,“区间修改,单点查询”,其实后者就是前者的一个变形,要明白树状数组的本质就是“单点修改,区间查询”

怎么实现“区间修改,区间查询”呢?

观察式子:
a[1]+a[2]+...+a[n]

= (c[1]) + (c[1]+c[2]) + ... + (c[1]+c[2]+...+c[n]) 

= n*c[1] + (n-1)*c[2] +... +c[n]

= n * (c[1]+c[2]+...+c[n]) - (0*c[1]+1*c[2]+...+(n-1)*c[n])    (式子①)

那么我们就维护一个数组c2[n],其中c2[i] = (i-1)*c[i]

每当修改c的时候,就同步修改一下c2,这样复杂度就不会改变

那么

式子①

=n*sigma(c,n) - sigma(c2,n)

于是我们做到了在O(logN)的时间内完成一次区间和查询

一件很好的事情就是树状数组的常数比其他NlogN的数据结构小得多,实际上它的计算次数比NlogN要小很多,再加上它代码短,是OI中的利器

【题目】

CodeVS 1082 线段树练习3(点击)

解析:这就是个裸题

【代码】

//树状数组(升级版)
#include <cstdio>
#define lowbit(x) (x&-x)
#define ll long long
#define maxn 200010
using namespace std;
ll n, q, c1[maxn], c2[maxn], num[maxn];
void add(ll *r, ll pos, ll v)
{for(;pos<=n;pos+=lowbit(pos))r[pos]+=v;}
ll sigma(ll *r, ll pos)
{
	ll ans;
	for(ans=0;pos;pos-=lowbit(pos))ans+=r[pos];
	return ans;
}
int main()
{
	ll i, j, type, a, b, v, sum1, sum2;
	scanf("%lld",&n);
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%lld",num+i);
		add(c1,i,num[i]-num[i-1]);
		add(c2,i,(i-1)*(num[i]-num[i-1]));
	}
	scanf("%lld",&q);
	while(q--)
	{
		scanf("%lld",&type);
		if(type==1)
		{
			scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&v);
			add(c1,a,v);add(c1,b+1,-v);
			add(c2,a,v*(a-1));add(c2,b+1,-v*b);
		}
		if(type==2)
		{
			scanf("%lld%lld",&a,&b);
			sum1=(a-1)*sigma(c1,a-1)-sigma(c2,a-1);
			sum2=b*sigma(c1,b)-sigma(c2,b);
			printf("%lld\n",sum2-sum1);
		}
	}
	return 0;
}


### C++树状数组实现区间修改区间查询 #### 基本原理 树状数组是一种高效处理动态前缀和问题的数据结构。对于 **区间修改** 和 **区间查询** 的需求,可以通过差分数组的思想来解决。 假设原始数组为 `a`,其对应的差分数组为 `d`,其中 \( d_i = a_i - a_{i-1} \)[^3]。通过维护这个差分数组,可以将区间修改转化为单点修改,并利用树状数组完成高效的查询操作。 以下是完整的实现代码: ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define lowbit(x) (x & (-x)) const int MAXN = 1e5 + 5; long long c[MAXN], orig_a[MAXN]; int n; // 更新函数:对差分数组进行单点修改 void update(int idx, long long delta) { while (idx <= n) { c[idx] += delta; idx += lowbit(idx); } } // 查询函数:计算前缀和 long long query(int idx) { long long res = 0; while (idx > 0) { res += c[idx]; idx -= lowbit(idx); } return res; } // 初始化树状数组 void init(vector<long long> &arr) { memset(c, 0, sizeof(c)); n = arr.size(); for (int i = 1; i <= n; ++i) { update(i, arr[i]); } } // 区间修改 [l, r] 加上 val void range_update(int l, int r, long long val) { update(l, val); // 对位置 l 进行增加 if (r + 1 <= n) update(r + 1, -val); // 对位置 r+1 进行减少 } // 区间查询 [l, r] long long range_query(int l, int r) { return query(r) - query(l - 1); } int main() { ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); int m; cin >> n >> m; // 数组长度 n 和 操作次数 m vector<long long> arr(n + 1, 0); for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> arr[i]; init(arr); while (m--) { char op; cin >> op; if (op == 'Q') { // Query int l, r; cin >> l >> r; cout << range_query(l, r) << "\n"; } else if (op == 'U') { // Update int l, r; long long val; cin >> l >> r >> val; range_update(l, r, val); } } return 0; } ``` --- #### 代码解析 1. **初始化部分** - 使用 `init()` 函数初始化树状数组,输入初始数组并将其转换为差分形式存储到树状数组中[^3]。 2. **更新操作 (`range_update`)** -区间 `[l, r]` 上的每个元素加上 `val` 转化为两个单点修改- 在位置 `l` 处增加 `val`; - 在位置 `r+1` 处减去 `val`(如果存在的话)[^3]。 3. **查询操作 (`range_query`)** - 利用树状数组快速求解前缀和的功能,返回区间 `[l, r]` 的总和。 4. **时间复杂度分析** - 单次更新或查询时间复杂度均为 \( O(\log n) \),因此适合大规模数据范围下的应用[^2]。 --- #### 差分数组的作用 差分数组的核心作用在于将复杂的区间修改简化为简单的单点修改。具体来说: - 如果需要对区间 `[l, r]` 执行加法操作,则只需调整差分数组中的两个端点即可[^3]。 这种技巧使得基于树状数组的解决方案更加简洁高效。 --- ###
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