树状数组区间更新+区间查询+单点查询

最新推荐文章于 2020-05-14 19:17:03 发布

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本文详细介绍了如何利用树状数组实现区间更新操作，并通过引入差分数组的概念，实现了单点查询与区间查询的功能。文章提供了具体的代码示例，帮助读者理解树状数组在解决此类问题上的高效应用。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

为了更好地使用复杂度比线段树更加优化的树状数组，所以必须实现树状数组的区间更新；树状数组时间复杂度为O(MlogN)，实际用的时候优于线段树，且写得少。

区间更新、单点查询

引入差分数组，假设初始数据数组为a，另a[0] = 0；设要维护的差分数组为 d[i] = a[i] - a[i-1]；进一步可知 a[i] = d[1] + d[2] + ... + d[i]; 即前i项和，为方便记为sigma(d, i)；例如如下例子：

a：1 2 3 5 6 9

d：1 1 1 2 1 3

如果进行区间[2, 5]更新加2，则：

a：1 4 5 7 8 9

d：1 3 1 2 1 1

会发现当某个区间[x, y]内值发生了同等改变，但这个区间内的差值还是不变的，只有d[x]和d[y+1]的值发生了改变。

所以可以建立区间更新、单点查询的树状数组去维护d[]，例如如下例子：

d：1 1 1 2 1 3

c：1 2 1 5 1 4（c值如何计算参考下图）

区间[2, 5]更新加2，则：

d：1 3 1 2 1 1

c：1 4 1 7 1 2（c值如何计算参考下图）

int lowbit(int k){
	return k & -k;
}

void update(int n, int *c, int i, int va){
	while(i <= n){
		c[i] += va;
		i += lowbit(i);
	}
}

int pointValue(int *c, int i) {
    int res = 0;
    while(i > 0){
        res += c[i];
        i -= lowbit(i);
    }
    return res;
}

//-------------------------------------

// 在区间[x, y]增加k
updata(n, c, x, k);   
updata(n, c, y+1, -k);

// 获得第i点的值
pointValue(c, i);

区间更新、区间查询

根据差分数组：

sum[n]

= a[1] + a[2] + .. + a[n];

= sigma(d, 1) + sigma(d, 2) + ... + sigma(d, n);

= n*d[1] + (n-1)*d[2] + ... + 2*d[n-1] + 1*d[n];

= n*(d[1] + d[2] +...+ d[n]) - (0*d[1] + 1*d[2] + ... + (n-1)*d[n]);

所以可以得到 sum[n] =n * sigma(d, n) - (0*d[1] + 1*d[2] + ... + (n-1)*d[n]);

令r[i] = (i-1) * d[i];

则 sum[n] = n * sigma(d, n) - sigma(r, n);

此时则需要构造两个树状数组去分别维护d[]和r[]的更新；例如如下例子：

a： 1 2 3 5 6 9

d： 1 1 1 2 1 3

c1：1 2 1 5 1 4

r： 0 1 2 6 4 15

c2：0 1 2 9 4 19

如果进行区间[2, 5]更新加2，则：

a： 1 4 5 7 8 9

d： 1 3 1 2 1 1

c1：1 4 1 7 1 2

r： 0 3 2 6 4 5

c2：0 3 2 11 4 9

注：c1、c2的计算过程同样参考上图。
注意c2更新前后，其在区间左端点2处开始向后更新加k*(2-1)，在右端点5再加1=6处，更新减k*(5-1)。

代码如下：

int lowbit(int k){
	return k & -k;
}

void update(int n, int *c1, int *c2, int i, int va){
    int x = i;
	while(i <= n){
		c1[i] += va;
		c2[i] += va * (x-1);
		i += lowbit(i);
	}
}

int sum(int *c1, int *c2, int i) {
    int res = 0, x = i;
    while(i > 0){
        res += x * c1[i] - c2[i];
        i -= lowbit(i);
    }
    return res;
}

//-------------------------------------

// 在区间[x, y]增加k
updata(n, c, x, k);   
updata(n, c, y+1, -k);

// 获得[x, y]的和
res = sum(c1, c2, y) - sum(c1, c2, x-1);

其它细节可参考：https://www.cnblogs.com/xenny/p/9739600.html