树状数组的区间更新--差分数组

一、差分数组建数组原理：

树状数组（区间更新）//差分数组

令树状数组建树为

(设a是原始数组，tree是树状数组)

原理：

区间更新若要将区间[L,R]内每一点的值增加h

即a[L]+=h;a[L+1]+=h;a[R]+=h;

1. 区间[1,L-1]的a值不变，所以tree的对应值也不变
2. 因为a[L]+=h; a[L-1]不变
   tree[L]=a[L]-a[L-1];
   所以：tree[L]增大h
3. 在i∈[L+1,R]内   
   tree[i]=a[i]-a[i-1];
   a[i]和a[i-1]都加了h，相减都减掉了
   所以：tree[i]不变
4. 对于tree[R+1]=a[R+1]-a[R];
   a[R+1]不变，a[R]增大了h
   所以tree[R+1]减少了h

 

综上：区间更新时，只需要更新tree的两个点

 

二、多种求和方式转化：

求和：

对于tree数组的建立方式，可知

 a[i]=tree[1]+tree[2]+……+tree[i];

1. 若是单点查询，即求tree的前缀和即可
2. 若是区间[1,x]查询
   sum(x)=a[1]   +a[2]          +a[3]                  +…+a[x]
         =tree[1]+(tree[1]+tree[2])+ (tree[1]+tree[2]+tree[3])+…+(tree[1]+…+tree[x])
         =x*tree[1]+(x-1)*tree[2]+…+2*tree[x-1]+tree[x]（因为每次都是变的，所以这样仍不能求）
         =x*(tree[1]+…+tree[x])-(tree[2]+2*tree[3]+…+(x-1)tree[x])
         =x*

要求上式，可以建2个树状数组,A[]和B[]

sum=x*sum(A[x])-sum(B[x]);

(区间更新时)数组A是正常的添加值，数组B的添加值要乘上前面的系数（i-1）（结合树状数组求和方式再好好想想）

3.区间[L,R]的和的查询

1. ans=a[L]+a[L+1]+…+a[R]     （这种简单）
      =sum(R)-sum(L)
2. 令len=R-L+1；
   若求公式ans=len*a[L]+(len-1)*a[L+1]+…+a[R]
   则同上的转化方式 得：

（自己转化一下就可以了，树状数组不变）

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对于区间【L，R】的查询（3）

<1>例题见https://blog.youkuaiyun.com/qq_37868325/article/details/81123044的J题

<2>的例题见https://blog.youkuaiyun.com/qq_37868325/article/details/82561477的H题。