NOIP2017题解

本文详细解析了NOIP2017两天竞赛中的六道题目,包括数论、字符串处理、图论、搜索算法等多个方向。具体题目为:小凯的疑惑、时间复杂度、逛公园、奶酪、宝藏等。通过对这些题目的分析,可以帮助读者理解不同类型的算法设计思路。
### NOIP 2017 提高组 初赛题目解析 #### Pascal 编程语言的淘汰时间 关于 Pascal 编程语言何时不再被支持的问题,在选项中给出的时间点为 2022 年[^1]。 #### 归并算法最坏情况下的比较次数 对于两个长度均为 n 的有序数组 A 和 B 进行归并操作时,如果仅考虑元素之间的比较作为基本运算,则在最坏的情况下,至少需要执行 \(2n - 1\) 次比较才能完成整个过程[^2]。 ```python def merge_sorted_arrays(A, B): merged_array = [] i, j = 0, 0 while i < len(A) and j < len(B): if A[i] <= B[j]: merged_array.append(A[i]) i += 1 else: merged_array.append(B[j]) j += 1 # Append any remaining elements from either list merged_array.extend(A[i:]) merged_array.extend(B[j:]) return merged_array ``` 此代码展示了如何有效地将两个已排序列表合并成一个新的已排序列表,并且在这个过程中进行了必要的比较来决定哪个元素应该先加入到新的列表当中去。当处理到最后一个元素的时候,实际上已经完成了 \(2n-1\) 次比较(假设两部分都含有 n 个不同大小的数),这正好对应于上述提到的最佳下界理论值。 #### 硬币分堆与查找不合格品的方法 给定一组数量为 n 枚相同外观但可能有一枚质量不同的硬币组成的集合 A ,通过天平称重的方式找出那枚与众不同的假币: 1. 计算 k 值等于向下取整后的 \(\lfloor{n / 3}\rfloor\); 2. 把这些硬币分为三份 X、Y 和 Z,每一份分别有 k 枚; 3. 如果 X 组和 Y 组的质量不相等的话,那么继续下一步骤;否则跳转至第 5 步; 4. 对较轻的那一侧进一步分割重复以上步骤直到找到唯一可疑对象为止; 5. 当剩下不超过两枚硬币时直接对比即可判断哪一个是异常者;而只有一枚的情况则默认其就是那个特殊个体[^3]. 这种策略利用了三分法的思想,每次都将待测样本缩小三分之一左右的比例,从而提高了效率同时也简化了解决方案的设计难度.
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