连续信号（模拟信号）在有限区间上的傅立叶级数展开,离散频谱

先解释下文章的题目。我们讨论的是信号，首先面临的是什么是信号，或者我们将要讨论的具体“信号”代表的是什么，其实我认为信号就是函数，之所以不称他为函数，是因为他是一种特殊的函数----它携带了信息，所以信号就是携带了信息的函数。 连续信号是指，自变量连续取值的信号，也称为模拟信号。注意，这里并没有说连续信号是连续函数，连续信号只是限制了自变量取值的连续性。而自变量不是连续变化的信号，称为离散信号。在这篇文章里，我们要讨论的是连续信号在有限区间上的傅立叶级数展开，之所以要讨论有限区间，是因为在工程应用中，我们往往只能讨论有限时间或者空间变化内的信号。 

为什么要讨论傅立叶级数展开呢？原因是，这个称为信号的函数的特殊性，因为它携带了信息，我们希望能获取这种信息，而将其展开成傅立叶级数的形式，可以获得它的一些信息，所以我们要讨论它的傅立叶级数展开。其实信号处理的基础就是傅立叶级数展开，这里实在是感谢傅立叶，没有它，今天很多智能应用都是很难实现的。另一方面，我们不学好它，也不好在现代社会学术前沿生存！所以学起吧！

1、叠加与逆

信息通过波传播，在信号的传播路径上，连续采集它的幅度值，就能得到一个时间的函数，这个函数就是一种信号。考虑声音在某种介质中传播，介质固定后，波的传播速度就固定了，速度固定，我们根据波的频率不同来区分不同的声音。但是我们很难从获得的声音信号中看出频率的信息！但是，如果我们随机的组合不同频率的波，可以得到复杂的波，那么复杂的波是否可以分解成不同频率的波的组合呢？

这其实也是个逆问题。简化理解下：某种客观存在发出不同频率的波，然后叠加起来，传播，我们收到了这个信号，能否得到原先不同频率的波？由我现在掌握的知识，我不觉的这是可行的，但是我们可以找到某些频率的波的叠加。我的意思是，复杂波不能唯一的分解成某些频率波的叠加，但是可以分解成某些频率的波的叠加。最后我会再说明这一点。

2、一些基本的概念后出发！

由于我们讨论有限区间上模拟信号的傅立叶级数展开。有限区间定义为[t_0, t_0 + T]，f_0=1/T称为基频。我们认为简谐波是最简单的波，一般我们采集到的波称为复杂波，所以A*sin(2*\pi*f_0*t+\phi)称为基波，给一个正整数n，nf_0这个频率称为n次倍频（这个称呼是我自己想的，没有文献中大家的叫法，如有看客不吝告知有行业共识的称呼，不胜感激呀），A*sin(2*\pi*n*f_0+\phi)称为n次谐波。我们先做个实验，看看由频率不同的波组成的复杂波是什么样子的。

先附上我做实验用的程序，由matlab写成。

% 
T = 4; % time region. [0, 0+T]
f0 = 1/T; % fundamental frequency

Num = 3; %number of waves.
Samples = 500; % number of samples on the time domain.
fa = 1:Num;
fa = f0*f