连续信号和离散信号

一、连续信号和离散信号频谱概念

连续余弦信号：$x_a(t) = A cos(\Omega t+\theta) = Acos(2\pi Ft+\theta)$
离散余弦信号：$x(n) = A cos(\omega n+\theta) = Acos(2\pi fn+\theta) = x(F_s*t)$
$\Omega$为连续信号角速度 $\in(-\infty\text{ +}\infty)$，单位为 rad/s；$\omega$为单位样本的弧度，即离散信号角速度$\in[-\pi$ $\pi]$。
F为连续信号频率 $\in(-\infty\text{ +}\infty)$，单位为 Hz；f为相对频率或归一化频率($\frac{F}{F_s},F_s$是离散信号采样率)$\in[-\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2} ]$；
matlab:

NFFT=1024;
F = 800;
F2 = 7000;
Fs = 16000;
x = 1:NFFT; 
y = 2*cos(2*pi*(x'*F)'/Fs)'
fy=fft(y);
fy_abs = abs(fy);
fy_abs = 2*fy_abs/NFFT;
fy_abs(1) = fy_abs(1)/2;
plot(Fs*x/NFFT,fy_abs);

800Hz没有落在1024点的任意一个点上，导致比实际值小；7000Hz恰好对应一个点，幅值接近2。对类似800Hz这样的点，功率谱分析时如何解决？？？

二、频谱混叠

$x_0(t) = Acos(2\pi F_0t+\theta)$
$x_1(t) = Acos(2\pi (F_0+F_s)t+\theta)$
$x_k(t) = Acos(2\pi F_kt+\theta) =Acos(2\pi (F_0+kF_s)t+\theta) 其中：k \in[2 \text{ +}\infty)$

离散信号以$F_s$采样($F_s >= 2*F$)，则：

$x_0(n) = Acos(2\pi \frac{F_0}{F_s}n+\theta)$
$x_1(n) = Acos(2\pi \frac{F_0+F_s}{F_s}n+\theta)= Acos(2\pi \frac{F_0}{F_s}n+\theta)$
$x_k(n) = Acos(2\pi \frac{F_k}{F_s}n+\theta)=Acos(2\pi \frac{(F_0+k*F_s)}{F_s}n+\theta)= Acos(2\pi \frac{F_0}{F_s}n+\theta)$

可以看出$x_k(n)$ 经过$F_s$采样后和$x_0(n)$ 是相同的，结果是不可区分的；即$F_k是F_0$ 的频谱混叠。